Вязкостное решение

Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения.

Определения

Вырожденное эллиптическое уравнение

Дифференциальное уравнение в частных производных

$F(x,u,Du,D^{2}u)=0$,

заданное в области $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$, является вырожденным эллиптическим, если для любых двух симметричных матриц $X$ и $Y$ таких, что их разница $Y-X$ положительно определенна, и любых значений $x\in \Omega$, $u\in \mathbb {R}$ и $p\in \mathbb {R} ^{n}$ выполняется неравенство

$F(x,u,p,X)\geqslant F(x,u,p,Y).$

Примеры

• Уравнение Лапласа

  $-\Delta u=0$.

• Любое уравнение первого порядка.

Вязкостное решение

Полунепрерывная сверху функция $u$, заданная в $\Omega$, называется вязкостным подрешением этого уравнения, если для любой точки $x_{0}\in \Omega$ и любой гладкой функции $\phi$ такой, что $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ и $\phi \geqslant u$ в некоторой окрестности $x_{0}$, выполняется неравенство

$F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leqslant 0.$

Аналогично полунепрерывная снизу функция $u$, заданная в $\Omega$, называется вязкостным надрешением этого уравнения, если для любой точки $x_{0}\in \Omega$ и любой гладкой функции $\phi$ такой, что $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ и $\phi \leqslant u$ в некоторой окрестности $x_{0}$ выполняется неравенство

$F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geqslant 0.$

Непрерывная функция $u$ является вязкостным решением вырожденного эллиптического уравнения, если оно является подрешением и надрешением одновременно.

История

Термин впервые появляются в работе Крэндалла и Лионса в 1983 году для решений уравнения Гамильтона — Якоби. Определение фактически дано Эвансом ранее, в 1980 году. Определение было уточнено в совместной работе всех троих.

Литература

• Т. А. Белкина, Ю. М. Кабанов. Вязкостные решения интегродифференциальных уравнений для вероятности неразорения (рус.) // ТВП. — 2015. — Т. 60, № 4. — С. 802–810. — doi:10.4213/tvp5036.