Гиперэллиптическая поверхность

Гиперэллиптическая или биэллиптическая поверхность — это поверхность, морфизм Альбанезе которой является эллиптическим расслоением[en]. Любая такая поверхность может быть записана как факторгруппа произведения двух эллиптических кривых по конечной абелевой группе. Гиперэллиптические поверхности образуют один из классов с размерностью Кодаиры[en] 0 в классификации Энриквеса — Кодаиры.

ИнвариантыПравить

Размерность Кодаиры равна 0.

Ромб Ходжа:

1
1 1
0 2 0
1 1
1

КлассификацияПравить

Любая гиперэллипическая поверхность является фактором  , где  , F — эллиптические кривые, а G — подгруппа группы F (действующая на F переносами). Существует семь семейств гиперэллиптических поверхностей.

Порядок K   G Действие G на E
2 Любая    
2 Любая    
3      
3      
4      
4      
6      

Здесь   — первообразный кубический корень из 1, а i — примитивный корень 4-ой степени из 1.

Квазигигиперэллиптические пространстваПравить

Квазигигиперэллиптическое пространство — это поверхность, канонический дивизор[en] которого численно эквивалентен нулю, отображение Альбанезе[en] отображает в эллиптическую кривую, а все его слои являются рациональными кривыми с каспами. Они существуют только в характеристиках 2 или 3. Их второе число Бетти равно 2, второе число Чженя равно нулю, как и голоморфная эйлерова характеристика[en]. Классификацию провели Бомбиери и Мамфорд[1], которые нашли шесть случаев в характеристике 3 (в этом случае 6K= 0) и восемь случаев в характеристике 2 (в этом случае равно нулю 6K или 4K). Любая квазиэллиптическая поверхность является фактором  , где E — рациональная кривая с одним каспом, F является эллиптической кривой, а G является конечной групповой подсхемой[en] группы F (действующей на F переносами).

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить