Характеристика (алгебра)

Характеристика — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств колец или полей.

Для кольца характеристикой называется наименьшее целое такое, что для каждого элемента выполняется равенство:

,

а если такого числа не существует, то предполагается .

При наличии единицы в кольце характеристика может быть определена как наименьшее ненулевое натуральное число такое, что , если же такого не существует, то характеристика равна нулю.

Характеристики кольца целых чисел , поля рациональных чисел , поля вещественных чисел , поля комплексных чисел равны нулю. Характеристика кольца вычетов равна . Характеристика конечного поля , где  — простое число,  — положительное целое, равна .

Тривиальное кольцо с единственным элементом  — единственное кольцо с характеристикой .

Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику , то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля есть либо , либо простое число . В первом случае поле содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел , во втором случае поле содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов . В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в ).

Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в и алгебраическое замыкание поля .

Если  — коммутативное кольцо простой характеристики , то для всех , . Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.

ЛитератураПравить

  • Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
  • Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.