Эндоморфизм Фробениуса

Эндоморфизм Фробениуса — эндоморфизм коммутативного кольца простой характеристики , задаётся формулой . В некоторых случаях, например, в случае конечного поля, эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом, однако в общем случае это не так.

Определение и базовые свойстваПравить

Пусть   — коммутативное кольцо простой характеристики   (в частности, таким является любое целостное кольцо ненулевой характеристики). Эндоморфизм Фробениуса кольца   определяется формулой  . Эндоморфизм Фробениуса действительно является гомоморфизмом колец, так как   (для того, чтобы доказать последнее тождество, достаточно расписать левую часть по формуле бинома Ньютона и заметить, что все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, делятся на  ).

Если   — произвольный гомоморфизм колец простой характеристики  , то  , то есть:  .

Это значит, что эндоморфизм Фробениуса является естественным преобразованием тождественного функтора (на категории коммутативных колец характеристики  ) в себя.

Если кольцо   не содержит нетривиальных нильпотентов, то эндоморфизм Фробениуса инъективен (так как его ядро нулевое). Легко доказать, что верно и обратное: если   — нетривиальный нильпотент, обнуляющийся начиная со степени  , то  . Эндоморфизм Фробениуса не обязательно сюръективен, даже если   является полем. Например, пусть   — поле рациональных функций с коэффициентами в  , тогда функция   не лежит в образе эндоморфизма Фробениуса.

Поле   называется совершенным, если его характеристика равна нулю, либо характеристика положительна и эндоморфизм Фробениуса сюръективен (а следовательно, является автоморфизмом). В частности, все конечные поля являются совершенными.

Неподвижные точкиПравить

Рассмотрим конечное поле  . Согласно малой теореме Ферма, все элементы этого поля удовлетворяют уравнению  . Уравнение  -й степени не может иметь более   корней, следовательно, в любом расширении поля   неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля  . Аналогичное утверждение верно для целостных колец характеристики  .

Сходным свойствам удовлетворяют и степени эндоморфизма Фробениуса. Если   — конечное поле, все его элементы удовлетворяют уравнению   и в любом расширении этого поля элементы исходного поля являются неподвижными точками  -й степени эндоморфизма Фробениуса, то есть неподвижными точками  .

Порождающий элемент группы ГалуаПравить

Группа Галуа конечного расширения конечного поля является циклической и порождается степенью эндоморфизма Фробениуса. Рассмотрим сначала случай, когда основное поле является простым. Пусть   — конечное поле, где  . Эндоморфизм Фробениуса   сохраняет элементы простого поля  , поэтому он является элементом группы Галуа расширения  . Оказывается, что эта группа является циклической и порождается  . Порядок этой группы равен  , так как эндоморфизм   действует на   тождественно, а меньшие степени не могут действовать тождественно.

В расширении   основное поле фиксируется  -й степенью эндоморфизма Фробениуса, группа Галуа расширения порождается   и имеет порядок  .

Эндоморфизм Фробениуса для схемПравить

См. такжеПравить

ЛитератураПравить