Задача со счастливым концом

Задача со счастливым концом — утверждение о том, что любое множество из пяти точек на плоскости в общем положении имеет подмножество из четырёх точек, которые являются вершинами выпуклого четырёхугольника.

Задача со счастливым концом: любое множество из пяти точек содержит вершины выпуклого четырёхугольника.

История

Этот результат комбинаторной геометрии назван Палом Эрдёшем «задачей со счастливым концом», поскольку решение проблемы завершилось свадьбой Дьёрдя Секереша и Эстер Клейн (венг. Eszter Klein). Известна также как «теорема Эрдёша — Секереша о выпуклых многоугольниках».

Обобщения результата на произвольное число точек являются предметом интереса математиков XX и XXI веков.

Доказательство

Если не менее четырёх точек образуют выпуклую оболочку, в качестве выпуклого четырёхугольника можно выбрать любой набор из четырёх точек оболочки. В противном случае имеется треугольник и две точки внутри него. Прямая, проходящая через две внутренние точки, в силу общего положения точек не пересекает одну из сторон треугольника. Вершины этой стороны и две внутренние точки образуют выпуклый четырёхугольник.

Многоугольники с произвольным числом вершин

Эрдёш и Секереш обобщили этот результат на произвольное число точек, что является оригинальным развитием теории Рамсея. Они также выдвинули «гипотезу Эрдёша — Секереша» — точную формулу для максимального числа вершин выпуклого многоугольника, обязательно существующего в множестве из заданного числа точек в общем положении.

Восемь точек в общем положении для которых нет выпуклого пятиугольника.

В (Erdős & Szekeres 1935) доказано следующее обобщение: для любого натурального $N$, всякое достаточно большое множество точек в общем положении на плоскости имеет подмножество $N$ точек, которые являются вершинами выпуклого многоугольника. Это доказательство появилось в той же статье, где доказывается теорема Эрдёша — Секереша о монотонных подпоследовательностях в числовых последовательностях.

Размер множества как функция числа вершин многоугольника

Пусть $f(N)$ означает минимальное $M$, для которого любое множество из $M$ точек в общем положении содержит выпуклый $N$-угольник. Известно, что:

• $f(3)=3$, очевидно.
• $f(4)=5$, доказала Эстер Секереш.
• $f(5)=9$, согласно (Erdős & Szekeres 1935), это первым доказал Э. Макаи; первое опубликованное доказательство появилось в (Kalbfleisch, Kalbfleisch & Stanton 1970). Множество из восьми точек, не содержащее выпуклый пятиугольник, на иллюстрации показывает, что $f(5)>8$; сложнее доказать, что любое множество из девяти точек в общем положении содержит выпуклый пятиугольник.
• $f(6)=17$, это было доказано в (Szekeres & Peters 2006). В работе реализован сокращённый компьютерный перебор возможных конфигураций из 17 точек.
• Значения $f(N)$ неизвестны для $N>6$.

Гипотеза Эрдёша — Секереша о минимальном числе точек

Исходя из известных значений $f(N)$ для $N=3,4,5$, Эрдёш и Секереш предположили, что:

$f(N)=1+2^{N-2}$ для всех $N$.

Эта гипотеза не доказана, но известны оценки сверху и снизу.

Оценки скорости роста f(N)

Конструктивным построением авторы гипотезы сумели позднее доказать оценку снизу, совпадающую с гипотетическим равенством:

$f(N)\geq 1+2^{N-2}$, (Erdős & Szekeres 1961)

Однако наилучшая известная оценка сверху при $N\geq 7$ не является близкой:

$f(N)\leq {2N-5 \choose N-2}+1=O\left({\frac {4^{N}}{\sqrt {N}}}\right)$, (Tóth & Valtr 2005)

(использованы биномиальные коэффициенты).

Вариации и обобщения

Пустые многоугольники

Интересен также вопрос о том, содержит ли достаточно большое множество точек в общем положении пустой выпуклый четырёхугольник, пятиугольник, и так далее. То есть многоугольник, не содержащий внутренних точек.

Если внутри четырёхугольника, существующего согласно теореме со счастливым концом, есть точка, то, соединив эту точку с двумя вершинами диагонали, мы получим два четырёхугольника, один из которых выпуклый и пустой. Таким образом, пять точек в общем положении содержат пустой выпуклый четырёхугольник, как видно на иллюстрации. Любые десять точек в общем положении содержит пустой выпуклый пятиугольник (Harborth 1978). Однако существуют сколь угодно большие множества точек в общем положении, которые не содержат пустой выпуклый семиугольник.(Horton 1983)

Таким образом, задача о пустых многоугольниках не является проблемой теории Рамсея и в принципе решена.

Вопрос о существовании пустого шестиугольника долгое время оставался открытым. Но сначала в (Nicolás 2007) и (Gerken 2008) было доказано, что всякое достаточно большое множество точек в общем положении содержит пустой шестиугольник, потом оценку сверху довели до f(9) (предположительно 129), а оценку снизу — до 30 точек.(Overmars 2003). И, наконец, в 2024 году получен окончательный результат — 30-точечная конфигурация обязательно содержит пустой шестиугольник.

Ссылки

• Happy ending problem Архивная копия от 25 сентября 2006 на Wayback Machine and Ramsey-theoretic proof of the Erdős-Szekeres theorem on PlanetMath
• Weisstein, Eric W. Happy End Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.