Главное значение интеграла по Коши

Главное значение интеграла по Коши — это обобщение понятия интеграла Римана, которое позволяет вычислять некоторые расходящиеся несобственные интегралы. Идея главного значения интеграла по Коши заключается в том, что при приближении интервалов интегрирования к особой точке с обеих сторон «с одинаковой скоростью» особенности нивелируют друг друга (за счёт различных знаков слева и справа), и в результате можно получить конечную границу, которая и называется главным значением интеграла по Коши. Эта концепция имеет важные применения в комплексном анализе (Теорема Сохоцкого — Племеля).

Так, например, интеграл $\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}$ — это несобственный интеграл второго рода, не существует, однако он существует в смысле главного значения интеграла по Коши.

Определение главного значения интеграла по Коши

Определение (для особой точки «∞»)

Определение (для особой точки «∞»). Пусть f (x) определена на интервале (-∞, + ∞) и f ∈ R ([- A, A]) для всех A> 0, но несобственный интеграл I рода $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$ расходится. Если существует конечный предел

$\lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}f(x)\,dx,$

то эта граница называется главным значением интеграла по Коши (или главным значением в смысле Коши) для функции f в области (-∞, + ∞) и обозначается символом

$\mathrm {v.p.} \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx.$

При этом говорят, что функция f (x) интегрируема на интервале (-∞, + ∞) по Коши (или интегрируема в области (-∞, + ∞) в смысле Коши).

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл $\int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx.$ Этот интеграл расходится, потому что расходящимся будет, например, интеграл $\int _{0}^{+\infty }x\,dx,$ но существует главное значение данного интеграла в смысле Коши:

$\mathrm {v.p.} \int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}x\,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }{\frac {x^{2}}{2}}{\Bigr |}_{-A}^{A}=0.$

Теорема

• Если f (x) — нечётная на (-∞, + ∞) и f ∈ R ([- A, A]) для всех A> 0, то f интегрируема на (-∞, + ∞) по Коши.
• Если f (x) — чётная на (-∞, + ∞) и f ∈ R ([- A, A]) для всех A> 0, то сходимость интеграла $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$ эквивалентна сходимости интеграла $\int _{0}^{+\infty }f(x)\,dx.$

Определение (для конечной особой точки)

Определение (для конечной особой точки). Пусть функция f : [a, b] → R удовлетворяет условиям:

1. существует δ> 0 такое, что f ∈ R ([a, c — ε]) и f ∈ R ([c + ε, b]) для всех ε ∈ (0, δ)
2. расходящимся есть несобственный интеграл второго рода $\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Если существует конечный предел

$\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}f(x)\,dx\right),$

то этот предел называется главным значением интеграла по Коши (или главным значением в смысле Коши) для функции f на отрезке [a, b] и обозначается символом

$\mathrm {v.p.} \int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

При этом говорят, что функция f (x) интегрируема в [a, b] по Коши (или интегрируема на отрезке [a, b] в смысле Коши).

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл второго рода $\int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}$ (см. рисунок) Он расходится, поскольку расходится, например, интеграл $\int _{-2}^{0}{\frac {dx}{x}}.$ При этом в понимании главного значения по Коши данный интеграл существует и равен нулю:

${\begin{aligned}\mathrm {v.p.} \int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\int _{-2}^{-\varepsilon }{\frac {dx}{x}}+\int _{\varepsilon }^{2}{\frac {dx}{x}}\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\ln |x|{\Bigr |}_{-2}^{-\varepsilon }+\ln |x|{\Bigr |}_{\varepsilon }^{2}\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}{\big (}\ln |-\varepsilon |-\ln |\varepsilon |{\big )}=\\&=0.\end{aligned}}$

Случай нескольких особых точек на промежутке интегрирования

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл $\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx$ (см. рисунок). Особые точки подынтегральной функции f (x) = 2 x / (x²-1) есть точки -1, 1 и ∞. Данный интеграл расходится, потому расходится, например, интеграл

${\begin{aligned}\int _{2}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{A\to +\infty }\int _{2}^{A}{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx=\\&=\lim _{A\to +\infty }\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{x=2}^{A}=\\&=\lim _{A\to +\infty }{\big (}\ln |A^{2}-1|-\ln 3{\big )}=\\&=+\infty .\end{aligned}}$

Очевидно, что f ∈ R ([-1 / ε, −1-ε]) ∩ R ([-1 + ε, 1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1 / ε]) для всех ε ∈ (0, 1) (так как ограничена на каждом из этих отрезков). Проверим интегрируемость функции f в смысле Коши:

${\begin{aligned}\mathrm {v.p.} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\int _{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\int _{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \to +0}{\Big (}\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\Big )}=\\&=0.\end{aligned}}$

Следовательно, функция f интегрируема в смысле Коши на промежутке (-∞, + ∞).

Источники

• Дороговцев А. Я. Математический анализ. — Киев, Высшая школа, 1985.