Группа Титса
Группа Титса J2, названная именем Жака Титса, — это конечная простая группа порядка 211 • 33 • 52 • 13 = 17971200 ≈ 2⋅107.
Иногда группа считается 27-й спорадической группой.
История и свойства править
Группы Ри 2F4(22n+1) построил Римхак Ри[1]. Он показал, что эти группы являются простыми, если n ≥ 1. Первый член этой последовательности 2F4(2) не является простым. Группу исследовал Жак Титс[2] и показал, что она почти проста, её коммутант 2F4(2)′ с индексом 2 является другой простой группой, которая носит теперь имя «группа Титса». Группа 2F4(2) является группой лиева типа и имеет пару (B, N), но сама группа Титса пары (B, N) не имеет. Поскольку группа Титса не является строго группой лиева типа, её иногда считают 27-й спорадической группой[3]
Мультипликатор Шура группы Титса тривиален, её группа внешних автоморфизмов[англ.] имеет порядок 2, а полная группа автоморфизмов — группа 2F4(2).
Группа Титса является максимальной подгруппой группы Фишера Fi22[англ.]. Группа 2F4(2) является также максимальной подгруппой группы Рудвалиса как точечный стабилизатор перестановочное действие ранга 3 на 4060 = 1 + 1755 + 2304 точках.
Группа Титса является одной из простых N-групп и она была пропущена Джоном Г. Томпсоном в первом сообщении о классификации простых N-групп, поскольку к тому моменту группа не была открыта.
Группа является также одной из тонких групп.
Группу Титса описывали различными способами Паррот в 1972/73 годах[4][5] и Строт[6].
Представления править
Группу Титса можно определить в терминах генераторов и отношений
![{\displaystyle a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}=(ababababab^{-1})^{6}=1,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f44b27a672153a6f16e710613801bb6d107b023)
где [a, b] — коммутатор. Он имеет внешний автоморфизм[англ.], который получается путём перевода (a, b) в (a, bbabababababbababababa).
Максимальные подгруппы править
Уилсон[7] и Чакериан[8] независимо нашли 8 классов максимальных подгрупп группы Титса:
L3(3):2 Два класса, связанные внешним автоморфизмом. Эти подгруппы оставляют неподвижными точки ранга 4 перестановочных представлений.
2.[28].5.4 Централизатор инволюции.
L2(25)
22.[28].S3
A6.22 (Два класса, связанные внешним автоморфизмом)
52:4A4
Примечания править
- ↑ Ree, 1961.
- ↑ Tits, 1964.
- ↑ Например, в книге «ATLAS of Finite Groups»[англ.] и её WEB-варианте Архивная копия от 8 января 2012 на Wayback Machine
- ↑ Parrott, 1972.
- ↑ Parrott, 1973.
- ↑ Stroth, 1980.
- ↑ Wilson, 1984.
- ↑ Tchakerian, 1986.
Литература править
- Parrott D. A characterization of the Tits' simple group // Canadian Journal of Mathematics. — 1972. — Т. 24. — С. 672–685. — ISSN 0008-414X. — doi:10.4153/cjm-1972-063-0.
- Parrott D. A characterization of the Ree groups 2F4(q) // Journal of Algebra. — 1973. — Т. 27. — С. 341–357. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(73)90109-9.
- Ree R. A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (F4) // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1961. — Т. 67. — С. 115–116. — ISSN 0002-9904. — doi:10.1090/S0002-9904-1961-10527-2.
- Stroth G. A general characterization of the Tits simple group // Journal of Algebra. — 1980. — Т. 64, вып. 1. — С. 140–147. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(80)90138-6.
- Tchakerian K.B. The maximal subgroups of the Tits simple group // Pliska Studia Mathematica Bulgarica. — 1986. — Т. 8. — С. 85–93. — ISSN 0204-9805.
- Tits J. Algebraic and abstract simple groups // Annals of Mathematics. Second Series. — 1964. — Т. 80. — С. 313–329. — ISSN 0003-486X. — .
- Wilson R.A. The geometry and maximal subgroups of the simple groups of A. Rudvalis and J. Tits // Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series. — 1984. — Т. 48, вып. 3. — С. 533–563. — ISSN 0024-6115. — doi:10.1112/plms/s3-48.3.533.
Ссылки править
- ATLAS of Group Representations — The Tits Group Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
Для улучшения этой статьи желательно:
|