Почти простая группа

Говорят, что группа почти проста, если она содержит неабелеву простую группу и содержится в группе автоморфизмов этой простой группы. В символьной записи группа A почти проста, если существует простая группа S, такая, что $S\leq A\leq \operatorname {Aut} (S)$.

Примеры

• Тривиально, неабелевы простые группы и полные группы автоморфизмов почти просты, но существуют примеры почти простых групп, не являющихся ни простыми, ни полными группами автоморфизмов.
• Для $n=5$ или $n\geqslant 7$ симметрическая группа $S_{n}$ является группой автоморфизмов простой знакопеременной группы $A_{n},$ так что $S_{n}$ является почти простой в этом тривиальном смысле.
• Для $n=6$ существует чистый пример, так как $S_{6}$ находится чисто между простой группой $A_{6}$ и $\operatorname {Aut} (A_{6}),$ вследствие исключительных внешних автоморфизмов группы $A_{6}$. Две другие группы, группа Матьё $M_{10}$ и проективная полная линейная группа $\operatorname {PGL} _{2}(9)$, также находятся чисто между $A_{6}$ и $\operatorname {Aut} (A_{6}).$

Свойства

Группа автоморфизмов неабелевой простой группы является полной группой (отображение смежных классов является изоморфизмом в группу автоморфизмов), но собственная подгруппа полной группы автоморфизмов не обязательно полна.

Структура

Согласно гипотезе Шрайера, ныне повсеместно принятой как следствие классификации простых конечных групп, группа внешних автоморфизмов конечной простой группы является разрешимой группой. Таким образом, конечная простая группа является расширяемой разрешимой группы по простой группе.

См. также

• Квазипростая группа
• Полупростая группа

Ссылки

• Almost simple group Архивная копия от 30 августа 2009 на Wayback Machine at the Group Properties wiki