Групповое кольцо

Групповое кольцо — это кольцо, являющееся в то же время свободным модулем, которое можно построить по данному кольцу и данной группе. Неформально говоря, групповое кольцо $K[G]$ — это свободный модуль над кольцом $K,$ базис которого находится в биективном соответствии с элементами группы $G,$ умножение базисных элементов определяется как умножение элементов группы, а на остальные элементы умножение «распространяется по линейности».

Аппарат групповых колец особенно полезен в теории представлений групп.

Определение

Пусть $K$ — кольцо, а $G$ — группа. Тогда групповым кольцом $K[G]$ называется множество конечных формальных сумм вида $\alpha =\sum _{g\in G}a_{g}g,\quad a_{g}\in K$, которые складываются и умножаются следующим образом:

Если $\alpha =\sum _{g\in G}a_{g}g,\ \beta =\sum _{g\in G}b_{g}g$, то

$\alpha +\beta =\sum _{g\in G}(a_{g}+b_{g})g$

$\alpha \cdot \beta =\sum _{g\in G}\left(\sum _{xy=g, \atop x,y\in G}a_{x}b_{y}\right)g$.

Свойства

• Если $K$ и $G$ коммутативны, то $K[G]$ коммутативно.
• Если $K$ — кольцо с единицей, то $K[G]$ — кольцо с единицей.
• Вложение $G$ в $K[G]$ образует базис группового кольца.
• Если $H$ — подгруппа $G$, то $K[H]$ — подкольцо кольца $K[G]$.
• Пусть $K$ является полем, тогда каждому элементу $G$ можно сопоставить линейное преобразование векторного пространства $K[G]$ — умножение на соответствующий базисный вектор слева. Это сопоставление задаёт регулярное представление группы.

Литература

• Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
• Наймарк М. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976.