Дерево примитивных пифагоровых троек

Дерево примитивных пифагоровых троек — троичное дерево, образуемое примитивными пифагоровыми тройками, то есть пифагоровыми тройками, не имеющими общих делителей. Впервые открыто в 1934 году шведским математиком Берггреном.

Классическое дерево примитивных пифагоровых троек

В 1963 году установлено, что при умножении справа любой из трёх матриц

$A={\begin{bmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{bmatrix}}$

на вектор-столбец, компоненты которого составляют пифагорову тройку, результатом будет вектор-столбец, компоненты которого составляют другую пифагорову тройку. Если исходная тройка была примитивной, то таковой будет и результирующая. Таким образом, каждая примитивная тройка имеет три «потомка». Все примитивные пифагоровы тройки являются потомками тройки (3, 4, 5), и ни одна тройка при таком построении не появляется дважды. Результат графически можно представить в виде бесконечного троичного дерева с тройкой (3, 4, 5) в качестве корня.

Доказательство

Содержание в дереве исключительно примитивных троек

По индукции можно доказать, что дерево содержит примитивные тройки и ничего другого.

Пифагоровы тройки остаются пифагоровыми

Прямым вычислением можно показать, что при умножении одной из выше приведённых матриц на пифагорову тройку получим снова пифагорову тройку.

Сохранение примитивности

Все три матрицы A, B и C являются унимодулярными, то есть они имеют целочисленные элементы и их определители равны ±1. Таким образом, обратные к ним также унимодулярны и, в частности, состоят только из целочисленных элементов. Таким образом, при умножении любой из них, скажем A, на примитивную пифагорову тройку (a, b, c)^T, получим другую тройку (d, e, f)^T = A(a, b, c)^T, а тогда (a, b, c)^T = A⁻¹(d, e, f)^T. Если какое-либо простое число делит два из (а тогда и все три) d, e и f, то отсюда вытекает, что это простое будет делить и каждое из чисел a, b и c. Таким образом, если a, b и c взаимно просты, то и d, e и f должны быть взаимно просты. Это утверждение также справедливо для матриц B и C.

Содержание в дереве всех примитивных троек ровно один раз

Чтобы показать, что дерево содержит любую примитивную тройку, но не более чем один раз, достаточно показать, что от любой тройки существует в точности один путь обратно к корню (3, 4, 5). Это можно показать, если применить каждую из унимодулярных обратных матриц A⁻¹, B⁻¹ и C⁻¹ к произвольной примитивной пифагоровой тройке (d, e, f). Заметим, что по соображениям, приведённым выше, тройки остаются примитивными и пифагоровыми. Заметим также, что для любой примитивной тройки, большей (3, 4, 5), ровно одна обратная матрица даёт тройку с положительными элементами (и все меньше гипотенузы). По индукции эта новая тройка сама порождает ровно одну меньшую тройку и так далее. Поскольку гипотенуза положительна, она не может уменьшаться бесконечно, и когда-нибудь будет достигнута тройка (3, 4, 5). Это доказывает, что, тройка (d, e, f) должна присутствовать в дереве, и, поскольку путь только один, она должна появиться ровно один раз.

Свойства

Если начать с корня (a, b, c) = (3, 4, 5), то преобразование с помощью матрицы

• A сохраняет свойство b + 1 = c,
• B сохраняет свойство a − b = ±1,
• C сохраняет свойство a + 2 = c.

Геометрическая интерпретация этих трёх свойств опирается на вневписанные окружности. Три потомка каждого родительского треугольника «наследуют» радиус вписанной окружности от родителя — радиус вневписанной окружности родителя становится радиусом вписанной окружности потомка. Например, родитель (3, 4, 5) имеет радиусы вневписанных окружностей 2, 3 и 6. Это как раз радиусы вписанных окружностей потомков (5, 12, 13), (15, 8, 17) и (21, 20, 29) соответственно.

Если матрицы A или C использовать последовательно, начиная с некоторой пифагоровой тройки, то поведение a, b и c можно выразить как поведение x в уравнении

$x_{n+3}-3x_{n+2}+3x_{n+1}-x_{n}=0,$

которое появляется из общего характеристического уравнения

$\lambda ^{3}-3\lambda ^{2}+3\lambda -1=0.$

Если применять последовательно B, то поведение чисел a, b и c можно выразить как поведение x в уравнении

$x_{n+3}-5x_{n+2}-5x_{n+1}+x_{n}=0,$

которое появляется из характеристического уравнения для B.

Более того, можно найти бесконечно много других рекуррентных уравнений, умножая эти три матрицы друг на друга произвольное число раз в произвольной последовательности. Например, матрица D = CB перемещает вершину в дереве за один шаг на две позиции (напротив, затем вниз). Характеристическое уравнение для D даёт поведение любой тройки a, b и c в неполном дереве, образованном матрицей D.

Другие методы получения дерева

Другой подход для этого дерева основывается на стандартной формуле получения пифагоровых троек:

$a=m^{2}-n^{2}$,

$b=2mn$,

$c=m^{2}+n^{2}$,

с m > n > 0, где m и n взаимно просты и имеют различную чётность. Пары (m, n) можно получать путём умножения их (слева, при представлении этой пары в виде столбца) на любую из матриц

${\begin{array}{lcr}{\begin{bmatrix}2&-1\\1&0\end{bmatrix}},&{\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}},&{\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\end{array}}$

Умножение на любую из этих матриц сохраняет неравенство чисел, взаимную простоту и противоположность чётности. Результирующее троичное дерево содержит все такие пары (m, n) ровно раз, а если перевести их в тройки (a, b, c), дерево становится тем же, что и описано выше.

Ещё один способ, использующий два параметра для генерации троек использует альтернативную формулу для всех примитивных троек:

$a=uv$,

$b={\frac {u^{2}-v^{2}}{2}}$,

$c={\frac {u^{2}+v^{2}}{2}}$,

с u > v > 0, где u и v взаимно просты и нечётны. Пары (u, v) можно получать путём умножения слева (если представить эту пару в виде вектор-столбца) на одну из вышеприведённых 2 × 2 матриц, при этом будет сохраняться неравенство чисел, взаимная простота и нечётность. Если процесс начать с (3, 1), результирующее дерево содержит каждую пару (u, v) ровно раз, а при приведении к тройкам (a, b, c) дерево становится тем же самым, что и выше.

Другое дерево

В 2008 году обнаружено, что отличное от вышеприведённого дерево можно получить сходным образом, если использовать матрицы

$A'={\begin{bmatrix}2&1&-1\\-2&2&2\\-2&1&3\end{bmatrix}},\quad B'={\begin{bmatrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{bmatrix}},\quad C'={\begin{bmatrix}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\end{bmatrix}}.$

См. получение пифагоровых троек с помощью матриц и линейных преобразований.

Литература

• F. J. M. Barning. Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices (датск.) // Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. ZW-011: 37. — 1963. Архивировано 4 марта 2016 года.
• B. Berggren. Pytagoreiska trianglar (швед.) // Elementa: Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi. — 1934. — Вып. 17.
• A. Hall. Genealogy of Pythagorean Triads // The Mathematical Gazette. — 1970. — Т. 54, #390, December.
• A. R. Kanga. The family tree of Pythagorean triples // Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications. — 1990. — Вып. 26, January/February.

• Douglas W. Mitchell. An alternative characterisation of all primitive Pythagorean triples // Mathematical Gazette. — 2001. — Т. 85 (July).
• Douglas W. Mitchell. Feedback on 92.60 // Mathematical Gazette. — 2009. — Т. 93 (July).
• H. Lee Price. The Pythagorean Tree: A New Species. — 2008.
• Robert A. Saunders, Trevor Randall. The family tree of the Pythagorean triplets revisited // Mathematical Gazette. — 1994. — Т. 78 (July). — .

Ссылки

• The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples at cut-the-knot
• Frank R. Bernhart, and H. Lee Price, «Pythagoras' garden, revisited», Australian Senior Mathematics Journal 01/2012; 26(1):29-40.[1]