Джойн

Джойн (от англ. join — «соединение») — конструкция в топологии, по двум топологическим пространствам дающая третье. Интуитивная интерпретация джойна — это множество всех отрезков, начинающихся в любой точке первого множества и заканчивающихся в любой точке второго.

Реализация джойна двух отрезков (синего и зелёного) как подмножества в трёхмерном пространстве. Джойном является весь трёхмерный многогранник.

Определение

Для двух топологических пространств $A$ и $B$ джойн $A\ast B$ определяется как факторпространство

$(A\times B\times [0,1])/\sim ,$

по минимальному отношению эквивалентности «$\sim$» такому, что

$(a,b_{1},0)\sim (a,b_{2},0)\quad {\mbox{при}}\quad a\in A\quad {\mbox{и}}\quad b_{1},b_{2}\in B,$

$(a_{1},b,1)\sim (a_{2},b,1)\quad {\mbox{при}}\quad a_{1},a_{2}\in A\quad {\mbox{и}}\quad b\in B.$

Таким образом, отображение из $(A\times B\times [0,1])/\sim ,$ в джойн стягивает $A\times B\times \{0\}$ на $A$ и $A\times B\times \{1\}$ на $B$.

Примеры

• Джойн пространства $A$ и точки $pt$ называется конусом над $A$ и обозначается $C(A)$.
• Джойн пространства $A$ и нуль-мерной сферы $\mathbb {S} ^{0}$ (то есть дискретного пространства из двух точек) называется надстройкой над $A$ и обозначается $\mathbb {S} (A)$.
• Джойн двух сфер $\mathbb {S} ^{m}$ и $\mathbb {S} ^{n}$ — это сфера $\mathbb {S} ^{m+n+1}$.

Свойства

• Конус над джойном двух пространств $A$ и $B$ гомеоморфен произведению их конусов. Иначе говоря,

  $C(A\ast B)\cong C(A)\times C(B).$

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : Фазис, 1997. — 132 с.
• Хатчер А. Алгебраическая топология = Algebraic Topology. — М. : МЦНМО, 2011. — 688 с.