Закон дисперсии

(перенаправлено с «Дисперсионное уравнение»)

Зако́н диспе́рсии, или дисперсионное соотношение, в теории волн — это функция зависимости частоты от волнового вектора:

Разложение пучка света в спектр при прохождении стеклянной призмы вследствие явления дисперсии света в стекле — нелинейности закона дисперсии для света в среде

Этот закон выражает связь временной и пространственной периодичности волны. Из закона дисперсии можно получить фазовую и групповую скорости волны:

Дисперсия возникает если фазовая скорость распространения волны зависит от её волнового числа, что имеет место, когда закон дисперсии нелинеен. Среда, в которой возникает дисперсия называется дисперсионной или диспергирующей средой. Такой средой в частности является стекло. Можно показать, что нелинейное дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в стекле, приводит к зависимости показателя преломления от длины волны. Дисперсия стекла и закон Снелла приводят к возможности использования стеклянной призмы в качестве простейшего спектрального прибора (см. картинку).

В гармоническом решении классического волнового уравнения фазовая скорость не зависит от волнового числа. Однако различные эффекты, возникающие в среде, могут приводить к появлению дополнительных членов в дифференциальном уравнении, описывающем распространение в этой среде волн. При подстановке в такое уравнение гармонической функции, можно увидеть, что она все еще является решением, но связь между частотой и волновым числом уже не линейная, что эквивалентно зависимости фазовой скорости от волнового числа.

В связи с тем, что, согласно квантовым представлениям, каждой волне соответствует некоторая частица или квазичастица (и наоборот), закон дисперсии можно также записывать и для частиц. В частности, в физике твёрдого тела закон дисперсии выражает связь между энергией частицы (например, электрона, фонона) и его волновым вектором.

Вывод для цепочкиПравить

Пусть дана одномерная линейная цепочка атомов массой  , расстояние между ними  . Сместим  -й атом на малое расстояние  . Тогда из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.

Обозначения:

  — волновое число;
  — частота.

С учётом ближайших соседей

 

где

  — коэффициент квазиупругой силы.

Запишем уравнение движения для  -го атома:

 

Пусть решение имеет вид  

Тогда

 

где

 

Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии для одноатомной цепочки.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

Стефан А. Тау. Линейные волны в средах с дисперсией // Нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.