Открыть главное меню

Дробное интегро-дифференцирование

(перенаправлено с «Дифферинтеграл»)

Дробное интегро-дифференцирование в математическом анализе — объединённый оператор дифференцирования/интегрирования, порядок которого может быть произвольным вещественным или комплексным числом. Используется в дробном математическом анализе. Сам по себе оператор служит для обозначения операции взятия производной/интеграла дробного порядка.

Обычно оператор обозначается следующим образом:

Содержание

ОпределенияПравить

Три наиболее употребительных формулы:

Самая простая и часто употребляемая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.
    
 
    
 
Формально похоже на интегро-дифференцирование Римана — Лиувилля, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.

Определения через преобразованияПравить

Обозначим непрерывное преобразование Фурье, как  :

 

В Фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:

 

Поэтому,

 

что сводится к

 

При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном  , дифференцирование заменяется умножением

 

Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно  , получаем

 

Основные свойстваПравить

  • Линейность:
 
 
  • Правило нуля:
 
  • Дробное интегро-дифференцирование произведения:
 
  • Полугрупповое свойство:
 

в общем случае не выполняется[1].

Некоторые важные формулыПравить

  •  
  •  
  •  

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  • Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. — Москва, Ижевск: РХД, 2011. — 568 с.

ЖурналыПравить

ПримечанияПравить

  1. см. Свойство 2.4 (стр. 75) в книге Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Elsevier, 2006.