Открыть главное меню

Дробная производная (или производная дробного порядка) является обобщением математического понятия производной. Существует несколько разных способов обобщить это понятие, но все они совпадают с понятием обычной производной в случае натурального порядка. Когда рассматриваются не только дробные, но и отрицательные порядки производной, к такой производной обычно применяется термин дифферинтеграл.

Содержание

Дробные производные на отрезке вещественной осиПравить

Для функции  , заданной на отрезке  , каждое из выражений

 

называется дробной производной порядка  ,  , соответственно левосторонней и правосторонней. Дробные производные в приведенном виде называют обычно производными Римана — Лиувилля.

Определение через интеграл КошиПравить

Дробная производная порядка   (  — действительное положительное число) определяется через интеграл Коши:  , где интегрирование ведется по выбранному заранее контуру   на комплексной плоскости. Непосредственное применение этой формулы затруднено из-за ветвления функции при дробном показателе степени в знаменателе.

Определение через преобразование ФурьеПравить

Основано на следующем свойстве интегрального преобразования Фурье

 [1]

Определение через общую формулу n-й производнойПравить

В случае, если есть общее аналитическое выражение для производной n-го порядка, понятие дробной производной может быть введено естественным образом путём обобщения данного выражения (когда это возможно) на случай произвольного числа n.

Пример 1: дифференцирование многочленовПравить

Пусть   есть моном вида

 

Первая производная, как и обычно

 

Повторение данной процедуры даёт более общий результат

 

который после замены факториалов гамма-функциями приводит к

 

Поэтому, например, половинная производная функции x есть

 

Повторяя процедуру, будем иметь

 

что представляет собой ожидаемый результат

 

Таким образом можно ввести дробные производные произвольного положительного порядка от многочлена. Определение также естественно обобщается на аналитические функции. Рассматривая   как мероморфную функцию комплексного переменного, можно обобщить определение на случай произвольного порядка дифференцирования. При этом

 

на всех  , таких что  ,   и   не являются целыми отрицательными числами.

Следует заметить, что производная в рассмотренном смысле имеет место при целых отрицательных n, однако такая производная отличается от понятия первообразной n-го порядка, поскольку первообразная определена неоднозначно, в то время как производная совпадает лишь с одной из первообразных. В этом случае можно говорить о главном значении первообразной.

Пример 2: дифференцирование тригонометрических функцийПравить

Пусть

 

Поскольку для любых a и b

 

то, полагая  ,

 

Действительно,

 

В рассмотренном примере понятие производной обобщается на случай любого действительного и даже комплексного порядка. Так, при   формула n-й производной даёт одну из первообразных функции  .

СвойстваПравить

Основные свойства производной нецелого порядка:

  • Линейность
 
 
  • Правило нуля
 
  • Дробная производная произведения
 
  • Полугрупповое свойство
 

в общем случае не выполняется [1].

ПримечанияПравить

  1. 1 2 см. Формулу (1.3.11) (стр. 11) в книге A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. (Elsevier, 2006)

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить