Задача о покрытии полосками
Задача о покрытии полосками — классическая задача комбинаторной геометрии. В простейшем случае звучит так:
- Доказать, что круг диаметра нельзя покрыть полосками с общей шириной меньше .
Задача о покрытии полосками известна как пример задачи, в которой при решении удобно перейти к рассмотрению высших размерностей.
О доказательстве
правитьВ трёхмерном варианте задачи вместо полосок берутся области между параллельными плоскостями. Решение этого варианта задачи легко следует из того, что площадь боковой поверхности шарового слоя зависит только от его высоты. В частности, сферу нельзя покрыть слоями с общей толщиной, меньшей диаметра сферы, а значит, нельзя и шар.
Из этого наблюдения немедленно следует двумерный случай. Это решение было предложено Гуго Штейнгаузом.
Вариации и обобщения
править- В 1932 году Тарский выдвинул гипотезу, что если выпуклую фигуру можно покрыть полосками с общей шириной 1, то её можно покрыть одной полоской ширины 1. Утвердительный ответ получен Тёгером Бангом в 1951 году.[1]
- Следующий вариант задачи про относительную ширину полосок был предложен Бангом:
- Предположим, выпуклое тело покрыто конечным числом полосок с ширинами , и есть ширины в соответствующих направлениях. Доказать, что
- Предположим, выпуклое тело покрыто конечным числом полосок с ширинами , и есть ширины в соответствующих направлениях. Доказать, что
См. также
править- Теорема Монжа — другой классический пример утверждения в доказательстве которого полезно повысить размерность пространства.
Примечания
править- ↑ King, Jonathan L. Three problems in search of a measure (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 1994. — Vol. 101. — P. 609—628. — doi:10.2307/2974690. Архивировано 6 ноября 2018 года.
Литература
править- И. М. Яглом. Т. Банг — В. Фенхель. Решение одной задачи о покрытии выпуклых фигур // Матем. просв., сер. 2. — 1957. — № 1. — С. 214—218.
- R. Alexander. A problem about lines and ovals (англ.) // The American Mathematical Monthly. — 1968. — Vol. 75, no. 5. — P. 482—487.
- Bezdek, Károly. Tarski’s plank problem revisited // Geometry—intuitive, discrete, and convex. — 2013. — С. 45—64.
- Gardner, Richard. Relative width measures and the plank problem (англ.) // Pacific Journal of Mathematics. — 1988. — Vol. 135, no. 2. — P. 299—312.
- Bang, Thøger (1950), "On covering by parallel-strips.", Mat. Tidsskr. B.: 49—53
- Bang, Thøger (1951), "A solution of the "plank problem"", Proc. Amer. Math. Soc., 2 (6): 990—993, doi:10.2307/2031721
{{citation}}
: Указан более чем один параметр|DOI=
and|doi=
(справка)