Звезда Ходжа

Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства q-векторов в пространство (n − q)-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами q-форм и q-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n − q.

$*\colon \Lambda ^{q}(T^{*}M)\to \Lambda ^{n-q}(T^{*}M)$

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.

Определение

Вспомогательные определения

Определим форму объёма

$\Omega =f(X)dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}$

$\Omega _{M_{1}\ldots M_{n}}=f(X)\varepsilon _{M_{1}\ldots M_{n}}$

где $f(X):M\to \mathbb {R}$ — неотрицательный скаляр на многообразии $M$, а $\varepsilon _{M_{1}\ldots M_{n}}$ — полностью антисимметричный символ. $\varepsilon _{0\ldots n-1}=+1$. Даже в отсутствие метрики, если $f(X)>0$, можно определить контравариантные компоненты формы объёма.

${\check {\Omega }}={\frac {1}{f(X)}}{\frac {\partial }{\partial {X^{0}}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {\partial }{\partial {}{X^{n-1}}}}$

${\check {\Omega }}^{M_{1}\ldots M_{n}}=f^{-1}(X)\varepsilon ^{M_{1}\ldots M_{n}}$

здесь антисимметричный символ $\varepsilon ^{M_{1}\ldots M_{n}}$ совпадает $\varepsilon _{M_{1}\ldots M_{n}}$.

В присутствии метрики $\Omega$ с поднятыми индексами может отличаться от ${\check {\Omega }}$ на знак: $\Omega =\sigma {\check {\Omega }}$. Здесь и далее $\sigma =\operatorname {sgn} \det(g_{mk})$

Введём операцию антисимметризации:

$A_{[m_{1}\ldots m_{q}]}={\frac {1}{q!}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{q})}(-1)^{\operatorname {sgn}(m_{1}\ldots m_{q})}A_{\sigma (m_{1}\ldots m_{q})}$. Суммирование ведётся по всем перестановкам $\sigma (m_{1}\ldots m_{q})$ индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности $\operatorname {sgn}(\sigma )$. Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: $A_{k[lm]}={\frac {1}{2!}}(A_{klm}-A_{kml})$; $A_{k}^{[l}B_{p}^{m]}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m}-A_{k}^{m}B_{p}^{l})$.

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

$A^{A\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor B\ldots }{}_{C\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor D\ldots }={\frac {1}{k!}}A^{A\ldots K_{1}\ldots K_{k}B\ldots }{}_{C\ldots K_{1}\ldots K_{k}D\ldots }$.

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки $\lfloor \;\rfloor$ только по упорядоченным наборам не деля на $k!$, это связано с тем, что разные наборы индексов $K_{1}\ldots K_{k}$, отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

$(A,B)_{M_{k+1}\ldots M_{q}}^{(k)}{}^{N_{k+1}\ldots N_{p}}=A_{\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor M_{k+1}\ldots M_{q}}B^{\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor N_{k+1}\ldots N_{p}}$

$(A,B)_{M_{1}\ldots M_{q-k}}^{\underline {(k)}}{}^{N_{1}\ldots N_{p-k}}=A_{M_{1}\ldots M_{q-k}\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }B^{N_{1}\ldots N_{p-k}\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }$

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Общее определение звезды Ходжа

Используя форму объёма $\Omega$ и поливектор ${\check {\Omega }}$, можно ввести операцию $*$, превращающую поливектор $B$ степени $p$ в дифференциальную форму $*B$ степени $n-p$, и обратную операцию $*^{-1}$, превращающую форму $A$ степени $q$ в поливектор $*^{-1}A$ степени $n-q$

$*B=(\Omega ,B)^{(p)}$

$*^{-1}A=(A,{\check {\Omega }})^{\underline {(q)}}$

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

$(*B)_{m_{q+1}\ldots m_{n}}={\frac {f(X)}{q!}}B^{m_{1}\ldots m_{q}}\varepsilon _{m_{1}\ldots m_{n}}$

Поскольку $*^{-1}*B=B$ и $**^{-1}A=A$, то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов $*$ и $*^{-1}$ введём пару операторов: ${\check {*}}$ и ${\check {*}}^{-1}$, отличающихся от них знаком.

${\check {*}}B=(\Omega ,B)^{\underline {(p)}}$

${\check {*}}^{-1}A=(A,{\check {\Omega }})^{(q)}$

Звезда Ходжа в присутствии метрики

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика $g_{mk}$. Обозначим $g=\det(g_{mk})$.

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой $g_{mk}$ называется форма $\Omega ={\sqrt {|g|}}dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}={\sqrt {|g|}}dX^{n}$ В компонентах:

$\Omega _{m_{1}\ldots m_{n}}={\sqrt {|g|}}\varepsilon _{m_{1}\ldots m_{n}}$

$\Omega ^{m_{1}\ldots m_{n}}={\frac {\sqrt {|g|}}{g}}\varepsilon ^{m_{1}\ldots m_{n}}={\frac {\operatorname {sgn}(g)}{\sqrt {|g|}}}\varepsilon ^{m_{1}\ldots m_{n}}$

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

$A_{m_{1}\ldots m_{n}}=A^{l_{1}\ldots l_{n}}g_{m_{1}l_{1}}\cdots g_{m_{n}l_{n}}$

Поэтому мы можем установить взаимно однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами. $(*A)_{m_{q+1}\ldots m_{n}}={\frac {1}{q!}}\Omega _{m_{1}\ldots m_{n}}A_{l_{1}\ldots l_{q}}g^{m_{1}l_{1}}\cdots g^{m_{q}l_{q}}$

Дополнительные операторы

На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:

$\delta =*^{-1}d*$

$(\delta A)^{M_{1}\ldots M_{q-1}}={\frac {1}{f(X)}}\partial _{M_{q}}(f(X)A^{M_{1}\ldots M_{q}})$

В присутствие метрики оператор дивергенции $\delta$ выражается через оператор ковариантной производной $\nabla$, определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:

$(\delta A)^{M_{1}\ldots M_{q-1}}=(\nabla ,A)^{{\underline {(1)}}M_{1}\ldots M_{q-1}}=\nabla _{M_{q}}A^{M_{1}\ldots M_{q}}={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{M_{q}}({\sqrt {|g|}}A^{M_{1}\ldots M_{q}})$

Иногда операцию $d$ (внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию $\delta$ — дивергенцией. Для 1-формы операция $\delta$ задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)

Лапласиан $\Delta$ от $q$-формы $A$ определяется формулой:

$\Delta A=(-1)^{q}(\delta d+d\delta )A$

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа — Бельтрами:

$\Delta \varphi =\nabla _{M}\nabla ^{M}\varphi ={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{M}{\sqrt {|g|}}g^{MN}\partial _{N}\varphi$

Для скаляра $\Delta =\nabla _{M}\nabla ^{M}$. Если $q>0$, то по формуле Бохнера для произвольной метрики в $\Delta$ появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае $q=1$

$(\Delta A)_{K}=\nabla _{M}\nabla ^{M}A_{K}-R_{K}{}^{M}A_{M}$

где $R_{K}{}^{M}$ — тензор Риччи, построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.

Источники

• Лекции М. Г. Иванова по курсу «Геометрические методы в классической теории поля». http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html