Метрический тензор

Не следует путать с метрическим пространством — множеством, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве. Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки.

Метрический тензор позволяет определить длины кривых, углы между кривыми, объём и другие понятия свойственные евклидову пространству. В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой.

В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырёхмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики.

Далее в формулах этой статьи с повторяющимися индексами везде подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна, то есть по каждому повторяющемуся индексу.

Способы задания

Координатное представление

Метрический тензор в локальных координатах $x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}$, обычно задаётся как ковариантное тензорное поле $g_{ij}\$. Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей $\partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$:

$\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle =g_{ij}.$

А для любых векторных полей скалярное произведение вычисляется по формуле

$\left\langle v,w\right\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}$,

где $v=v^{i}\partial _{i}\ ,w=w^{i}\partial _{i}$ — представление векторных полей в локальных координатах.

Замечания

Иногда метрический тензор задаётся двойственным способом, с помощью контравариантного тензора $g^{ij}$.

В случае невырожденных метрик

$g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i},$

где $\delta _{k}^{i}$ — символ Кронекера. В этом случае оба способа эквивалентны, и оба представления метрики бывают полезны.

Для вырожденных метрик иногда удобнее пользоваться именно контравариантной метрикой. Например, субриманова метрика может быть определена через тензор $g^{ij}$, но тензор $g_{ij}$ для неё не определён.

Представление в поле реперов

Иногда удобно задавать метрический тензор через выбранное (не обязательно координатное, как это описано выше) поле реперов, то есть выбором реперного поля $\{e_{i}(p)\}$ и матрицы $g_{ik}(p)=\langle e_{i}(p),e_{k}(p)\rangle$.

Например, риманов метрический тензор может быть задан ортонормированным полем реперов.

Индуцированная метрика

Метрика, которая индуцируется гладким вложением $r$ многообразия $M$ в евклидово пространство $E$, может быть посчитана по формуле:

$g=J_{r}^{T}J_{r},$

где $J_{r}$ означает матрицу Якоби вложения $r$ и $J_{r}^{T}$ — транспонированная к ней. Иначе говоря, скалярные произведения базисных координатных векторов касательного пространства ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$, которые в этом случае можно отождествить с ${\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}$, определяются как

$g_{ij}=g\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)=\left\langle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}},{\frac {\partial r}{\partial x_{j}}}\right\rangle ,$

где $\langle *,*\rangle$ обозначает скалярное произведение в $E$.

Более обобщенно

Пусть $(N,h)$ многообразие с метрикой и $r:M\to N$ гладкое вложение. Тогда метрика $g$ на $M$, определённая равенством

$g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y))$

называется индуцированной метрикой. Здесь $dr$ обозначает дифференциал отображения $r$.

Типы метрических тензоров

Совокупность метрических тензоров $g$ подразделяется на два класса:

• невырожденные или псевдоримановы метрики, когда $\ \det(g_{ij})\neq 0$ во всех точках многообразия. Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются:
  • Риманов метрический тензор (или риманова метрика), для которого квадратичная форма является положительно определенной. Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым, они имеют естественную структуру метрического пространства.
  • Собственно псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика), когда форма не является знакоопределённой. Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется (собственно) псевдоримановым.
    • К этому классу относится метрика Лоренца.
• Вырожденные метрики, когда $\ \det(g_{ij})=0$ либо $\ \det(g^{ij})=0$ в некоторых точках.
  • Многообразие $M^{n}$, метрика которого является вырожденной в любой точке, называется изотропным (например, световой конус в пространстве Минковского).
  • Субримановы метрики.

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания в математике понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрическом тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре. В физике под метрическим тензором обычно подразумевают лоренцеву метрику пространства-времени.

Иногда под псевдоримановым тензором и псевдоримановым многообразием понимают то, что выше определено как собственно псевдоримановы метрика и многообразие, а для первых сохраняется только термин «невырожденная метрика» и соответственно «многообразие с невырожденной метрикой».

Связанные определения

• Вектор нулевой длины в пространстве с псевдоримановой метрикой называется изотропным (также нулевым или светоподобным) и задает определенное изотропное направление на многообразии; например, свет в пространственно-временном континууме путешествует вдоль изотропных направлений.
• Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым многообразием.
• Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется псевдоримановым многообразием.
• Метрики на многообразии называются геодезически эквивалентными, если их геодезические (рассматриваемые как непараметризованные кривые) совпадают.

Свойства

• Риманов метрический тензор может быть введён на любом паракомпактном гладком многообразии.
• Риманов метрический тензор индуцирует на многообразии естественную структуру метрического пространства
• Индефинитная метрика не порождает метрического пространства. Однако на её основе может быть, по крайней мере в некоторых случаях, специальным образом построена топология (см. Топология Александрова), вообще говоря, не совпадающая с естественной топологией многообразия.

Метрика и объём

Определитель матрицы метрического тензора $|\det\{g_{ij}\}|$ дает квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базисные векторы. (В ортонормированных базисах это единица).

Поэтому величина ${\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}$ играет важную роль при вычислении объемов, а также при интегрировании по объему. В частности, ${\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}$ входит в общее выражение тензора Леви-Чивиты, используемого для вычисления смешанного произведения, векторного произведения и их многомерных аналогов.

Интегрирование же по объему включает этот множитель, например, при необходимости проинтегрировать в координатах какой-то скаляр (чтобы результат был инвариантным):

$S=\int s(x)\,d\Omega =\int s(x){\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,\ldots \,dx^{n},$

где $d\Omega$ — это элемент $n$-мерного объема, а $dx^{i}$ — дифференциалы координат.

• Для подмногообразий объём (площадь) определяется как объём (площадь) относительно индуцированной метрики.

Примеры

• Метрический тензор на евклидовой плоскости:
  • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)

    $g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{ij}=\delta _{ij}$

  • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
  • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
  • В полярных координатах: $(r,\theta )$

    $g={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\$

• Метрический тензор на сфере. Сфера (двумерная) радиуса $R$, вложенная в трехмерное пространство, имеет естественную метрику, индуцированную евклидовой метрикой объемлющего пространства. В стандартных сферических координатах $(\theta ,\varphi )$ метрика принимает вид:

  $g={\begin{bmatrix}R^{2}&0\\0&R^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$

• Метрический тензор для трёхмерного евклидова пространства:
  • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)

    $g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{ij}=\delta _{ij}$

  • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
  • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
  • В сферических координатах: $(r,\theta ,\phi )$:

    $g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$

• Метрика Лоренца (Метрика Минковского).
• Метрика Шварцшильда

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами

Метрический тензор устанавливает изоморфизм между касательным пространством и кокасательным пространством: пусть $v\in T_{p}M$ — вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора $g$ на $M$, мы получаем, что $g(v,\cdot )$, то есть отображение, которое переводит другой вектор $w\in T_{p}M$ в число $g(v,w)$, является элементом дуального пространства линейных функционалов (1-форм) $T_{p}^{*}M$. Невырожденность метрического тензора (если или где она есть) превращает это отображение в биекцию, а тот факт, что $g$ сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат.

Для тензорных полей это позволяет «поднимать и опускать индексы» у любого тензорного поля (жаргонное название — «жонглирование индексами»). В компонентах операция поднятия-опускания индекса, выглядит так:

$\ g_{ij}v^{j}=v_{i}$ — опускание индекса для вектора,

$\ g^{ij}v_{j}=v^{i}$ — поднятие индекса для вектора,

$\ g^{ij}g_{mn}T_{j\ \ \ pq}^{\ nrs}=T_{\ m\ \ pq}^{i\ \ rs}$ — пример одновременного поднятия индекса $j$ и опускания индекса $n$ для тензора большой валентности.

(К скалярам эта операция, естественно, не применяется).

Для тензороподобных объектов (не являющихся тензорами), как например символы Кристоффеля, преобразование контравариантных компонент в ковариантные и обратно определяется, как правило, так же, как и для тензорных. При желании жонглирование можно применить и к матрицам Якоби, только в этом случае нужно проследить за тем, что метрика для поднятия-опускания первого индекса будет, конечно, вообще говоря, отличаться от метрики для такой же операции со вторым.

См. также

• Тензор кривизны
• Ковариантная производная
• Метрическое пространство