Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве. Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки.

Метрический тензор позволяет определить длины кривых, углы между кривыми, объём и другие понятия свойственные евклидову пространству. В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой.

В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырёхмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики.

Далее в формулах этой статьи с повторяющимися индексами везде подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна, то есть по каждому повторяющемуся индексу.

Способы задания

править

Координатное представление

править

Метрический тензор имеет ранг  . В локальных координатах  , обычно задаётся как ковариантное тензорное поле  . Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей  :

 

А для любых векторных полей скалярное произведение вычисляется по формуле

 ,

где   — представление векторных полей в локальных координатах.

Замечания

править

Иногда метрический тензор задаётся двойственным способом, с помощью контравариантного тензора  .

В случае невырожденных метрик

 

где   — символ Кронекера. В этом случае оба способа эквивалентны, и оба представления метрики бывают полезны.

Для вырожденных метрик иногда удобнее пользоваться именно контравариантной метрикой. Например, субриманова метрика может быть определена через тензор  , но тензор   для неё не определён.

Представление в поле реперов

править

Иногда удобно задавать метрический тензор через выбранное (не обязательно координатное, как это описано выше) поле реперов, то есть выбором реперного поля   и матрицы  .

Например, риманов метрический тензор может быть задан ортонормированным полем реперов[1].

Индуцированная метрика

править

Метрика, которая индуцируется гладким вложением   многообразия   в евклидово пространство  , может быть посчитана по формуле:

 

где   означает матрицу Якоби вложения   и   — транспонированная к ней. Иначе говоря, скалярные произведения базисных координатных векторов касательного пространства  , которые в этом случае можно отождествить с  , определяются как

 

где   обозначает скалярное произведение в  .

Более обобщенно

править

Пусть   многообразие с метрикой и   гладкое вложение. Тогда метрика   на  , определённая равенством

 

называется индуцированной метрикой. Здесь   обозначает дифференциал отображения  .

Типы метрических тензоров

править

Совокупность метрических тензоров   подразделяется на два класса:

  • невырожденные или псевдоримановы метрики, когда   во всех точках многообразия. Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются:
    • Риманов метрический тензор (или риманова метрика), для которого квадратичная форма является положительно определенной. Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым, они имеют естественную структуру метрического пространства.
    • Собственно псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика), когда форма не является знакоопределённой. Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется (собственно) псевдоримановым.
  • Вырожденные метрики, когда   либо   в некоторых точках.

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания в математике понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрическом тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре. В физике под метрическим тензором обычно подразумевают лоренцеву метрику пространства-времени.

Иногда под псевдоримановым тензором и псевдоримановым многообразием понимают то, что выше определено как собственно псевдоримановы метрика и многообразие, а для первых сохраняется только термин «невырожденная метрика» и соответственно «многообразие с невырожденной метрикой».

Связанные определения

править
  • Вектор нулевой длины в пространстве с псевдоримановой метрикой называется изотропным (также нулевым или светоподобным) и задает определенное изотропное направление на многообразии; например, свет в пространственно-временном континууме путешествует вдоль изотропных направлений.
  • Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым многообразием.
  • Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется псевдоримановым многообразием.
  • Метрики на многообразии называются геодезически эквивалентными, если их геодезические (рассматриваемые как непараметризованные кривые) совпадают.

Свойства

править
  • Риманов метрический тензор может быть введён на любом паракомпактном гладком многообразии.
  • Риманов метрический тензор индуцирует на многообразии естественную структуру метрического пространства
  • Индефинитная метрика не порождает метрического пространства. Однако на её основе может быть, по крайней мере в некоторых случаях, специальным образом построена топология (см. Топология Александрова), вообще говоря, не совпадающая с естественной топологией многообразия.

Метрика и объём

править

Определитель матрицы метрического тензора   дает квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базисные векторы. (В ортонормированных базисах это единица).

Поэтому величина   играет важную роль при вычислении объемов, а также при интегрировании по объему. В частности,   входит в общее выражение тензора Леви-Чивиты, используемого для вычисления смешанного произведения, векторного произведения и их многомерных аналогов.

Интегрирование же по объему включает этот множитель, например, при необходимости проинтегрировать в координатах какой-то скаляр (чтобы результат был инвариантным):

 

где   — это элемент  -мерного объема, а   — дифференциалы координат.

  • Для подмногообразий объём (площадь) определяется как объём (площадь) относительно индуцированной метрики.

Примеры

править
  • Метрический тензор на евклидовой плоскости:
    • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)
       
    • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
    • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
    • В полярных координатах:  
       
  • Метрический тензор на сфере. Сфера (двумерная) радиуса  , вложенная в трехмерное пространство, имеет естественную метрику, индуцированную евклидовой метрикой объемлющего пространства. В стандартных сферических координатах   метрика принимает вид:
     
  • Метрический тензор для трёхмерного евклидова пространства:
    • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)
       
    • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
    • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
    • В сферических координатах:  :
       
  • Метрика Лоренца (Метрика Минковского).
  • Метрика Шварцшильда

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами

править

Метрический тензор устанавливает изоморфизм между касательным пространством и кокасательным пространством: пусть   — вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора   на  , мы получаем, что  , то есть отображение, которое переводит другой вектор   в число  , является элементом дуального пространства линейных функционалов (1-форм)  . Невырожденность метрического тензора (если или где она есть) превращает это отображение в биекцию, а тот факт, что   сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат.

Для тензорных полей это позволяет «поднимать и опускать индексы» у любого тензорного поля (жаргонное название — «жонглирование индексами»). В компонентах операция поднятия-опускания индекса, выглядит так:

  — опускание индекса для вектора,
  — поднятие индекса для вектора,
  — пример одновременного поднятия индекса   и опускания индекса   для тензора большой валентности.

(К скалярам эта операция, естественно, не применяется).

Для тензороподобных объектов (не являющихся тензорами), как например символы Кристоффеля, преобразование контравариантных компонент в ковариантные и обратно определяется, как правило, так же, как и для тензорных. При желании жонглирование можно применить и к матрицам Якоби, только в этом случае нужно проследить за тем, что метрика для поднятия-опускания первого индекса будет, конечно, вообще говоря, отличаться от метрики для такой же операции со вторым.

См. также

править

Примечания

править
  1. См., например,
    • Картан Э. Ж. Риманова геометрия в ортогональном репере. — М.: изд-во МГУ, [1926-1927]1960
    • Картан Э. Ж. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия изложенная методом подвижного репера. — М.: изд-во МГУ, [1930]1963