Оператор Лапласа — Бельтрами

Опера́тор Лапла́са — Бельтра́ми (называется иногда оператором Бельтра́ми — Лапла́са или просто оператором Бельтра́ми) — дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве гладких (или аналитических) функций на римановом многообразии .

В координатах где оператор Лапласа — Бельтрами задается следующим образом. Пусть — матрица метрического тензора риманова многообразия, — обратная матрица и , тогда оператор Лапласа — Бельтрами имеет вид

ПримерыПравить

  • В случае, когда   — область в евклидовом пространстве со стандартной метрикой   — единичная матрица, оператор Лапласа — Бельтрами (*) превращается (с точностью до знака) в оператор Лапласа.
  • Пусть   и метрический тензор имеет вид   тогда формула (*) принимает вид
     
  • Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка   где оператор   задан формулой (**), разрешимо, если функции   аналитические или достаточно гладкие. Этот факт используется для доказательства существования локальных изометрических (конформных) координат на поверхности  , т. е. доказательства того, что каждое двумерное риманово многообразие локально конформно эквивалентно евклидовой плоскости.[1]

ЛитератураПравить

  • Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операторов, — Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989.
  • Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, — М., Мир, 1984.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Любое издание.

ПримечанияПравить

  1. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), гл. 2, параграф 13.