Инверсия относительно сферы

Инверсия относительно сферы — это преобразование евклидова пространства, которое оставляет неподвижными точки сферы, переводя точки внутри сферы в точки вне сферы и наоборот. Инверсия есть конформное отображение[1][2] и является базовой операцией в инверсивной геометрии[англ.].

Инверсия цилиндра, проходящего через сферу.

Определение

править

Инверсия относительно сферы проще всего описать с помощью полярных координат. Выберем систему аффинных координат так, чтобы центр сферы лежал в начале координат, а радиус сферы был равен 1. Тогда любая точка может быть записана в виде rv, где r есть расстояние от точки до начала координат, а v является единичным вектором. Для любой точки, отличной от начала координат, такое представление точки существует и единственно. Если дано такое представление точки, её образ при сферической инверсии определяется как точка r−1v[3]. Это определяет гомеоморфизм из   в себя. Как отображение евклидова пространства в себя, сферическая инверсия не определена в начале координат, но можно расширить её до  , одноточечного компактного расширения пространства  , если считать, что точка 0 отображается на бесконечность, а бесконечность отображается в 0. Тогда сферическую инверсию можно рассматривать как гомеоморфизм пространства  [4].

Будем называть (для краткости) центр сферы, относительно которой осуществляется инверсия, центром инверсии.

Свойства

править

Инверсия является инволюцией и оставляет неподвижными точки, лежащие на сфере[3]. Инверсия прямой, не проходящей через центр инверсии, является окружностью, проходящей через центр инверсии и наоборот. Инверсия плоскости, не проходящей через центр инверсии, является сферой, проходящей через центр рассматриваемой сферы, и наоборот. В других случаях инверсия окружности является окружностью, а инверсия сферы является сферой[5].

Инверсия относительно сферы является мощным преобразованием. Простым примером является проективное отображение.

Обычно проекция с северного или южного полюса является инверсией Земли на плоскость. Если вместо полюса использовать центр и мы выберем город, то инверсия даст карту, где каждый кратчайший маршрут (большие окружности) для перелёта появляется как прямые линии.

Результаты инверсии относительно сферы

править
  1. Если некоторая точка A при инверсии отображается на точку B, то точка B при этом отображается на точку A.
  2. Каждая точка на сфере инверсии отображается на саму себя.
  3. Прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя.
  4. Прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.
  5. Инверсией окружности, проходящей через центр инверсии, будет прямая.
  6. Инверсией окружности, не проходящей через центр инверсии, будет окружность.
  7. Плоскость, проходящая через центр инверсии, переходит в себя.
  8. Плоскость, не проходящая через центр инверсии, переходит в сферу, проходящую через центр инверсии.
  9. Инверсией сферы, проходящей через центр инверсии, является плоскость.
  10. Инверсией сферы, не проходящей через центр инверсии, является сфера.

См. также

править

Примечания

править
  1. Александров, Нецветаев, 2010, с. 331, Замечание 2.
  2. Жижилин, 2009, с. 17—19.
  3. 1 2 Александров, Нецветаев, 2010, с. 330.
  4. Жижилин, 2009, с. 16—17, Теорема 1'.
  5. Александров, Нецветаев, 2010, с. 330, Теорема 4.

Литература

править
  • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Санк-Петербург: «БХВ-Петербург», 2010. — ISBN 978-5-9775-0419-5.
  • Жижилин И. Д. Инверсия. — Москва: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2009. — (Математическое просвещение). — ISBN 978-5-94057-448-4.