Интегральное уравнение Вольтерры

Интегра́льное уравне́ние Вольте́рры (распространено также написание интегральное уравнение Вольтерра́[1]) — специальный тип интегральных уравнений. Предложены итальянским математиком Вито Вольте́ррой, а затем изучались Траяном Лалеску в работе Sur les équations de Volterra, написанной в 1908 году под руководством Эмиля Пикара. В 1911 году Лалеску написал первую книгу об интегральных уравнениях. Уравнения находят применение в демографии, изучении вязко-упругих материалов, в страховой математике через уравнение восстановления.

Данные уравнения делятся на два типа.

Линейное уравнение Вольтерры первого рода:

,

где  — заданная функция,  — неизвестная функция.

Линейное уравнение Вольтерры второго рода:

.

В теории операторов и в теории Фредгольма соответствующие уравнения называются оператором Вольтерры.

Функция в интеграле часто называется ядром. Такие уравнения могут быть проанализированы и решены с помощью метода Лапласа.

Уравнения с однородным ядром

править

Первого рода

править
 

Решение основано на преобразовании Лапласа. Производя преобразование Лапласа обеих частей уравнения и обозначая его тильдой:

 

Таким образом,

 

Если при   функции   стремятся к   соответственно, то при больших   функция  . Это означает наличие  -функционного вклада, который следует вынести. Таким образом, решение имеет вид

 

Второго рода

править
 

Аналогичные рассуждения приводят к тому, что

 

Здесь уже случая неопределённости не возникает и

 

Примечания

править
  1. Вержбицкий М. В. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). Учебное пособие. — Directmedia, 2014. — С. 351. — 400 с. — ISBN 9785445838760.