Открыть главное меню

Теория Фредгольма — раздел теории интегральных уравнений; в узком смысле — изучающий интегральные уравнения Фредгольма, в широкой трактовке — представляющий совокупность методов и результатов в спектральной теории операторов Фредгольма и использующих понятие ядер Фредгольма в гильбертовом пространстве.

Названа в честь основного разработчика — шведского математика Эрика Ивара Фредгольма.

Содержание

Однородные уравненияПравить

Большая часть теории Фредгольма касается нахождения решений интегрального уравнения:

 .

Данное уравнение естественно возникает во многих задачах физики и математики, как обращение дифференциального уравнения. То есть, ставится задача решить дифференциальное уравнение:

 ,

где функция   — задана, а   — неизвестна. Здесь   — линейный дифференциальный оператор. Например, можно взять за   эллиптический оператор:

 ,

в таком случае решаемое уравнение становится уравнением Пуассона. Общий метод решения таких уравнений состоит в том, чтобы посредством функций Грина, то есть, не действуя впрямую, попытаться решить уравнение:

 ,

где   — дельта-функция Дирака. Далее:

 .

Данный интеграл написан в форме интегрального уравнения Фредгольма. Функция   известна как функция Грина, или ядро интеграла.

В общей теории,   и   могут принадлежать любому многообразию; вещественная прямая или  -мерное евклидово пространство в простейших случаях. Общая теория также часто требует, чтобы функции принадлежали к заданному функциональному пространству: часто, пространству квадратично интегрируемых функций или пространству Соболева.

Фактически используемое функциональное пространство часто определяется в решении задачи на собственные значения дифференциального оператора; то есть по решениям:

 ,

где   — собственные числа, а   — собственные векторы. Множество собственных векторов образует банахово пространство, а, где существует естественное скалярное произведение, то и гильбертово пространство, на котором имеет место теорема Рисса. Примерами таких пространств служат ортогональные многочлены, которые встречаются в виде решений класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Если задать гильбертово пространство, то ядро может быть записано в форме:

 ,

где   — двойственен к  . В данной форме, объект   часто называют оператором Фредгольма или ядром Фредгольма. То, что это то же самое ядро, следует из полноты базиса гильбертова пространства, а именно:

 .

Поскольку   обычно возрастает, то результирующие собственные значения оператора   убывают к нулю.

Неоднородные уравненияПравить

Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма:

 

может быть написано формально как:

 .

Тогда формальное решение:

 .

Решение в этой форме известно как резольвентный формализм, где резольвента определена как оператор

 .

Заданному набору собственных векторов и собственных значений   можно сопоставить резольвенту конкретного вида:

 

с решением:

 .

Необходимое и достаточное условие существования такого решения — одна из теорем Фредгольма. Резольвента обычно раскладывается в ряд по степеням  , в таком случае она известна как ряд Лиувилля-Неймана. Тогда интегральное уравнение записывается как:

 

Резольвента пишется в альтернативной форме:

 .

Определитель ФредгольмаПравить

Определитель Фредгольма обычно определяется как:

 ,

где  ,   и так далее. Соответствующая дзета-функция:

 

Дзета-функцию можно рассматривать как определитель резольвенты. Дзета-функция играет важную роль в изучении динамических систем; это тот же общий тип дзета-функции, что и дзета-функция Римана, однако в случае теории Фредгольма соответствующее ядро неизвестно. Существование данного ядра известно как гипотеза Гильберта — Пойа[en].

Основные результатыПравить

Классические результаты данной теории — это теоремы Фредгольма, одна из которых альтернатива Фредгольма.

Один из важных результатов общей теории это то, что указанное ядро — это компактный оператор, где пространство функций — это пространство равностепенно непрерывных функций.

Выдающимся родственным результатом является теорема об индексе, относящаяся к индексу эллиптических операторов на компактных многообразиях.

ИсторияПравить

Статья Фредгольма 1903 года в Acta mathematica — одна из важнейших вех в создании теории операторов. Давид Гильберт развил понятие гильбертова пространства в том числе в связи с исследованием интегральных уравнений Фредгольма.

СсылкиПравить

ЛитератураПравить

  • Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.