Пространство Соболева

Пространство Соболева — функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега (), имеющих обобщённые производные заданного порядка из .

При пространства Соболева являются банаховыми пространствами, а при  — гильбертовыми пространствами. Для гильбертовых пространств Соболева также принято обозначение .

Пространства Соболева были введены советским математиком Сергеем Львовичем Соболевым и впоследствии названы его именем.

ОпределениеПравить

Для области   норма в соболевском пространстве   порядка   и суммируемых со степенью   вводится по следующей формуле:

 

а при   норма выглядит следующим образом:

 

где   — это мультииндекс, а операция   есть обобщённая производная по мультииндексу.

Пространство Соболева   определяется как пополнение гладких функций в  -норме.

ПримерыПравить

Пространства Соболева имеют существенные отличия от пространств непрерывно дифференцируемых функций.

Пример разрывной функцииПравить

Пусть   — круг на плоскости. Функция   принадлежит пространству  , но имеет разрыв второго рода в точке  .

Пространства Соболева в одномерном случаеПравить

Функции из пространства   являются непрерывными. Для любых двух функций из пространства   произведение этих функций также принадлежит  . Поэтому соболевское пространство первого порядка на отрезке является банаховой алгеброй.

СвойстваПравить

  • Для любой области   из   следует, что  .
  • Если   и  , то  .
  • Если   финитная в  , то продолжение этой функции нулем принадлежит   для любой  .
  • Пусть   есть гладкое и взаимно однозначное отображение области   на область   и  , тогда функция   принадлежит пространству  .
  • Пространства Соболева   являются сепарабельными пространствами.
  • Если граница области   удовлетворяет условию Липшица, то множество   плотно в  .
  • Пусть  , где   — ограниченная область в  , звездная относительно некоторого шара. Если  , то их поточечное произведение  , определенное почти всюду в  , принадлежит пространству  , более того, существует положительная константа  , зависящая только от   такая, что
 , иными словами,   является коммутативной банаховой алгеброй, умножение в которой согласовано с нормой  .
  • Пространства   при   являются рефлексивными пространствами.
  • Пространства   являются гильбертовыми пространствами.

Теоремы вложенияПравить

Предполагая, что граница области   удовлетворяет достаточным условиям гладкости, имеют место следующие теоремы вложения.

Теорема вложения СоболеваПравить

Если  , то имеет место непрерывное вложение

 .

Здесь   предполагается целым и неотрицательным, а   может быть и дробным (пространства Соболева дробного порядка). Эта теорема играет важнейшую роль в теории функциональных пространств и дифференциальных уравнений в частных производных.

Теорема Реллиха — КондрашоваПравить

Пусть область   ограничена,  ,   и  , тогда: вложение   вполне непрерывно.

С помощью теорем о компактности вложения пространств Соболева доказываются многие теоремы существования для дифференциальных уравнений в частных производных.

ИсторияПравить

Идея об обобщении решений дифференциальных уравнений в частных производных начинает проникать в математическую физику в 20-х годах XX века. С одной стороны, необходимость в расширении классов функций возникает в многомерных вариационных задачах, а с другой, — при исследовании волнового уравнения и уравнений гидродинамики. В этих задачах классы непрерывных функций оказались недостаточными.

В работе Фридрихса 1934 года[1] при исследовании минимума квадратичного функционала были введены классы функций, которые совпадают с пространствами Соболева   — пространствами Соболева первого порядка, имеющими нулевой след на границе области. Однако в этих работах (так называемых прямых вариационных задачах) ещё не было понимания того, что соболевские пространства второго порядка являются классом корректности для эллиптических краевых задач, соответствующих вариационным задачам. В 1936 году в основополагающей работе Соболева[2] вводятся обобщённые решения основных видов линейных уравнений в частных производных второго порядка (волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности) из классов функций, которые впоследствии были названы пространствами Соболева. В этих работах обобщённые решения понимаются как пределы классических решений, причем пределы рассматриваются в классах интегрируемых функций. Такое расширение понятий решений позволяет исследовать задачи с весьма общими правыми частями и коэффициентами уравнений.

В 1930-х годах начинается всестороннее исследование пространств Соболева. Наиболее важными были работы Реллиха о компактности вложения (теорема Реллиха — Гординга) и теоремы о вложении (теоремы Соболева и Соболева — Кондрашова). Эти теоремы позволили строить обобщённые решения для многих задач математической физики, а также установить связь с классами непрерывных функций.

В 1940-х годах Ладыженской было предложено определять обобщённые решения с помощью интегральных тождеств для функций из пространств Соболева. Использование интегральных тождеств оказалось крайне удобным подходом для исследования разрешимости и гладкости решений уравнений в частных производных. В настоящее время определение обобщённых решений через интегральные тождества является стандартным методом постановки задач.

Пространства Соболева имеют принципиальное значение не только в теории дифференциальных уравнений с частными производными, но и в вариационных задачах, теории функций, теории приближений, численных методах, теории управления и многих других разделах анализа и его приложений.


Вариации и обобщенияПравить

Пространства Соболева  Править

В краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных важную роль играют пространства функций из пространства Соболева, имеющих нулевые граничные условия. Эти пространства обозначаются через   и вводятся как замыкания множества   по норме пространства  , где   есть множество финитных в   бесконечно дифференцируемых функций.

Пространства   являются замкнутыми подпространствами в  . При наличии определенной гладкости границы области   это пространство совпадает с множеством функций из  , имеющих нулевой след на границе области   и нулевой след всех обобщённых производных вплоть до  -го порядка.

Пространства Соболева во всем пространствеПравить

Пространства Соболева   можно определить с помощью преобразования Фурье. Для любой функции   определено преобразование Фурье  , причем,  . Пространство Соболева   определяется следующим образом:

 .

Пространства Соболева на тореПравить

Пусть   —  -мерный тор. Пространство Соболева на торе  , то есть  -периодических по всем переменным функций, можно определить с помощью многомерных рядов Фурье:

 .

Пространства Соболева дробного порядкаПравить

Чтобы избежать путаницы, нецелочисленное k будем обычно обозначать как s, то есть   или  .

В случае 0<s<1 пространство   состоит из функций  ,   таких, что

 

Для нецелого s>1 положим  , где   — целая часть s. Тогда   состоит из элементов   таких, что   для   с нормой

 

Пространства Соболева отрицательного порядкаПравить

При рассмотрении обобщённых решений дифференциальных уравнений в частных производных естественным образом возникают пространства Соболева отрицательного порядка. Пространство   определяется по формуле:

 

где штрих означает сопряженное пространство. При этом мы получаем, что пространства Соболева отрицательного порядка представляют собой пространство обобщённых функций. Так, например, пространство   содержит  -функцию Дирака.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
  • Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
  • R. A. Adams, J. J. F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press.
  • Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976