Дзета-функция Римана

(перенаправлено с «Дзета-функция»)

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция комплексного переменного , при , определяемая с помощью ряда Дирихле:

График дзета-функции Римана на действительной оси. Слева от нуля значения функции увеличены в 100 раз для наглядности

В комплексной полуплоскости этот ряд сходится, является аналитической функцией от и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением особой точки .

Дзета-функция Римана играет очень важную роль в аналитической теории чисел, имеет приложения в теоретической физике, статистике, теории вероятностей.

В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости , то многие важные теоремы о простых числах, опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.

Дзета-функция Римана для вещественных s > 1

Тождество ЭйлераПравить

В области   также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

  ,

где произведение берётся по всем простым числам  .

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

СвойстваПравить

 
Дзета-функции Римана в комплексной плоскости
  • Если взять асимптотическое разложение при   частичных сумм вида
     ,

справедливую для  , она же останется верной и для всех  , кроме тех, для которых  . Из этого можно получить следующие формулы для  :

  1.  , при  , кроме  ;
  2.  , при  , кроме   или  ;
  3.  , при  , кроме  ,   или   и т. д.
  • Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
     , где   — число Бернулли.
В частности,   (ряд обратных квадратов),  
  • Кроме того, получено значение  , где   — полигамма-функция;
  • Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока (2019 г.) доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978), а также то, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы ещё одно иррациональное[1].
  • При  
    •  , где   — функция Мёбиуса
    •  , где   — функция Лиувиля
    •  , где   — число делителей числа  
    •  
    •  , где   — число простых делителей числа  
    •  
    •  
  • При  
  •   имеет в точке   простой полюс с вычетом, равным 1.
  • Дзета-функция при   удовлетворяет уравнению:
     ,
где   — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана, хотя последний и не является ни его автором, ни тем, кто его первым строго доказал[2].
  • Для функции
     ,
введённой Риманом для исследования   и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:
 .

Нули дзета-функцииПравить

Основная статья: Гипотеза Римана

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости   функция   имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках:  . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее,   при вещественных  . Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали   и лежат в полосе  , которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой  .

Представления конкретных значенийПравить

ζ(2)Править

Из формулы  , где  число Бернулли, получаем, что  .

Другие представления в виде рядовПравить

Ниже приведены другие ряды, сумма которых равна  [3]:

 
 

Существуют также представления для   вида формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа, позволяющие в некоторых системах счисления вычислять  -ый знак его записи без вычисления предыдущих[3]:

 
 

Интегральные представленияПравить

Ниже приведены формулы для   с участием интегралов, полученные с использованием дзета-функции Римана[4][5][6]:

 

Цепные дробиПравить

Некоторые из представлений   в виде цепных дробей были получены в связи с аналогичными представлениями для константы Апери  , дающими возможность доказать её иррациональность.

  [7]
  [7]
 [8][неавторитетный источник?]
 [9]

ζ(3)Править

Основная статья: Постоянная Апери

Одним из наиболее коротких представлений является  , получаем, что   , где  полигамма-функция.

ζ(4)Править

Из формулы  , где  число Бернулли, получаем, что  .

ζ(5)Править

Одним из наиболее коротких представлений является  , получаем, что   , где  полигамма-функция.

ОбобщенияПравить

Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:

которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
  • Полилогарифм:
     
который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.
которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

Аналогичные конструкцииПравить

В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора[10]. Пусть   — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр  . Причём существует вещественное число  , такое, что оператор   имеет след. Тогда дзета-функция   оператора   определяется для произвольного комплексного числа  , лежащего в полуплоскости  , может быть задана сходящимся рядом

 

Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки  , то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора   в соответствии с формулой

 

ИсторияПравить

Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.

ПримечанияПравить

  1. Зудилин В. В. Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках // УМН. — 2001. — Т. 56, № 2(338). — С. 215–216.
  2. Благушин Я. В. История функционального уравнения дзета-функции и роль различных математиков в его доказательстве // Семинары по истории математики санкт-петербургского отделения математического института им. В. А. Стеклова РАН. — 2018.
  3. 1 2 Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function \zeta(2). MathWorld. Дата обращения: 29 апреля 2018.
  4. Connon D. F., Некоторые ряды и интегралы, включающие Дзета-функцию Римана, биномиальные коэффициенты и гармонические числа (часть I), arΧiv:0710.4022 
  5. Weisstein, Eric W. Double Integral. MathWorld. Дата обращения: 29 апреля 2018.
  6. Weisstein, Eric W. Hadjicostas's Formula. MathWorld. Дата обращения: 29 апреля 2018.
  7. 1 2 Steven R. Finch Mathematical Constants 1.4.4
  8. Continued fractions for Zeta(2) and Zeta(3). tpiezas: A COLLECTION OF ALGEBRAIC IDENTITIES. Дата обращения: 29 апреля 2018.
  9. van der Poorten, Alfred (1979), A proof that Euler missed ... Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3), The Mathematical Intelligencer Т. 1 (4): 195–203, doi:10.1007/BF03028234, <https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf> 
  10. Тахтаджян, 2011, с. 348.

ЛитератураПравить

  • Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2..
  • Тахтаджян Л. А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к. ф.-м. н. С. А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.
  • Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции: формулы, графики, таблицы / Пер. с 6-го переработанного немецкого издания под ред. Л. И. Седова. — Изд. 3-е, стереотип. — М.: Наука, 1977. — 344 с.

СсылкиПравить