Ядро интегрального оператора

Ядром интегрального оператора (ядро Фредгольма) называется функция двух аргументов $K(x,\;y)$, определяющая некий интегральный оператор ${\mathcal {A}}$ равенством

$\varphi (y)={\mathcal {A}}[\varphi (x)]=\int K(x,\;y)\varphi (x)\,d\mu (x),$

где $x\in \mathbb {X}$ — пространство с мерой $d\mu (x)$, а $\varphi (x)$ принадлежит некоторому пространству функций, определённых на $\mathbb {X}$.

Примеры

• Ядро $K(x,\;y)$ называется $L_{2}$-ядром, если оно удовлетворяет условию:

$\int \limits _{D}\int \limits _{D}|K(x,\;y)|^{2}\,dx\,dy<+\infty ,$

где $K(x,\;y)$ — измеримая на $D$ функция.

Такие ядра являются основным предметом рассмотрения теории интегральных уравнений.

• Ядро, удовлетворяющее условию:

$K(x,\;y)\equiv 0$ при $y>x$

называется ядром Вольтерры.

• Симметричное ядро — ядро, для которого выполняется тождество $K(x,\;y)=K(y,\;x)$.
• Если выполняется тождество $K(x,\;y)={\overline {K(y,\;x)}}$, где ${\overline {K(y,\;x)}}$ — комплексно сопряжённое к $K(x,\;y)$, то такое ядро называется эрмитовым.
• Если ядро $K(x,\;y)$ допускает разложение вида:

$K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{n}X_{k}(x)Y_{k}(y),$

где $\{X_{i}(x)\},\;\{Y_{i}(y)\}$ $(i=1,\;2,\;\ldots ,\;n)$ — две системы линейно независимых интегрируемых с квадратом функций ($L_{2}$-функций), такое ядро называется ядром Пинкерле — Гурса, или PG-ядром.

Связанные определения

• Спектром ядра называется множество его собственных значений.

Теорема Мерсера

Теорема Мерсера о разложении ядра гласит:

Если симметричное $L_{2}$-ядро $K(x,\;y)$ непрерывно и обладает лишь положительными собственными значениями (или самое большее конечным числом отрицательных собственных значений) $\lambda _{k}$, то справедливо представление:

$K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(y)}{\lambda _{k}}},$

где $\{\varphi _{k}(x)\}$ — ортогональная система $L_{2}$-функций. При этом ряд сходится абсолютно и равномерно.

Литература

• Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. — 300 с.
• Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 608 с. — ISBN 5-9221-0288-5..
• Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. — М.: Факториал, 1998. — 432 с. — ISBN 5-88688-024-0..