Ядро интегрального оператора

Ядром интегрального оператора (ядро Фредгольма[1]) называется функция двух аргументов , определяющая некий интегральный оператор равенством

где  — пространство с мерой , а принадлежит некоторому пространству функций, определённых на .

Примеры

править
  • Ядро   называется  -ядром, если оно удовлетворяет условию:
 

где   — измеримая на   функция.

Такие ядра являются основным предметом рассмотрения теории интегральных уравнений.

  • Ядро, удовлетворяющее условию:
  при  

называется ядром Вольтерры.

  • Симметричное ядро — ядро, для которого выполняется тождество  .
  • Если выполняется тождество  , где  комплексно сопряжённое к  , то такое ядро называется эрмитовым.
  • Если ядро   допускает разложение вида:
 

где     — две системы линейно независимых интегрируемых с квадратом функций ( -функций), такое ядро называется ядром ПинкерлеГурса, или PG-ядром.

Связанные определения

править

Теорема Мерсера

править

Теорема Мерсера[англ.] о разложении ядра гласит:

Если симметричное  -ядро   непрерывно и обладает лишь положительными собственными значениями (или самое большее конечным числом отрицательных собственных значений)  , то справедливо представление:

 

где  ортогональная система  -функций. При этом ряд сходится абсолютно и равномерно.

Литература

править
  • Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. — 300 с.
  • Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 608 с. — ISBN 5-9221-0288-5..
  • Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. — М.: Факториал, 1998. — 432 с. — ISBN 5-88688-024-0..

Примечания

править
  1. Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985. — Т. 5. — С. 660. — 1060 с.