Квазимногообразие

Квазимногообра́зие (от лат. quas(i) «наподобие», «нечто вроде») в универсальной алгебре — класс алгебраических систем фиксированной сигнатуры, аксиоматизируемый набором квазитождеств (хорновскими дизъюнктами).

В отличие от многообразий — классов алгебраических систем, аксиоматизируемых тождествами — особую роль в теории квазимногообразий играют теоретико-модельные методы, тогда как многообразия в основном рассматриваются для алгебр (алгебраических систем без отношений в сигнатуре) и изучаются общеалгебраическими методами[1].

ОпределениеПравить

Для алгебраической системы   с набором операций   и отношений   квазиатомарными считаются формулы вида:

  1.   (или в нотации отношений:  ),
  2.  ,

где  ,  , а   — символы переменных. (Иногда равенство включают в сигнатуру алгебраической системы как отношение и в этом случае достаточно формул первого вида.)

Квазитождества — формулы вида:

 

где   — квазиатомарные формулы с переменными  . Квазимногообразие — класс алгебраических систем, задаваемый набором квазитождеств.

Характеристические свойстваПравить

Всякое многообразие алгебраических систем является квазимногообразием вследствие того, что всякое тождество (из квазиатомарной формулы)   можно представить, например, квазитождеством  [2].

Если квазимногообразие конечно аксиоматизируемо, то оно конечно определимо[3].

Единичная алгебраическая система для заданной сигнатуры  , то есть система с носителем из одного элемента  , при которой   и  , является квазимногообразием (и, более того, многообразием). Наименьшее квазимногообразие заданной сигнатуры является многообразием, задаётся тождествами   и   и состоит из единственной единичной системы. Наибольшее квазимногообразие заднной сигнатуры также является многообразием — классом всех систем заданной сигнатуры, задаваемым тождеством  .[4]

Всякое квазимногообразие включает произвольное фильтрованное произведение входящих в него систем[5].

Чтобы класс систем являлся квазимногообразием необходимо и достаточно, чтобы он был одновременно локально замкнут, мультипликативно замкнут (содержал любое декартово произведение своих систем) и содержал единичную систему. Локальная и мультипликативная замкнутость для этого признака могут быть эквивалентно заменены на замкнутость относительно фильтрованных произведений и наследственность[6].

Определяющие соотношенияПравить

Свободные композицииПравить

Решётки квазимногообразийПравить

ИсторияПравить

Первым результатом применения квазитождеств в общей алгебре считается результат Анатолия Мальцева 1939 года[7], в котором построена бесконечная серия квазитождеств, характеризующая класс вложимых в группы полугрупп. В работе 1943 года Чена Маккинси[en][8] связал с квазитождествами некоторые алгоритмические проблемы алгебры, а одним из результатов решения Робертом Дилуорсом[en] в 1945 году[9] задачи о существовании недистрибутивных решёток с единственным дополнением, стало доказательство факта, что квазимногообразия имеют свободные системы.

Теорема Новикова (1955) о неразрешимости проблемы равенства слов в группах фактически означает неразрешимость хорновой теории групп, то есть также может быть отнесена к результатам, относящимся к квазимногообразниям.

Становление теории квазимногообразий как самостоятельной ветви универсальной алгебры относится к работам Мальцева, Табаты и Фудзивары конца 1950-х — начала 1960-х годов. Доклад Мальцева на Международном конгрессе математиков 1966 года в Москве, в котором были сформулированы некоторые важные проблемы, относящиеся к квазимногообразиям, способствовал росту интереса математиков к этой ветви[10].

Особый всплеск интереса к теории квазимногообразий проявился в 1970-е годы, когда началось широкое применение хорновой логики в логическом программировании (прежде всего, в работах, связанных с языком программирования Пролог) и в теории баз данных.

ПримечанияПравить

  1. Горбунов, 1999, Принципиальное отличие состоит в том, что в теории многообразий исследуются алгебры, в то время как в теории квазимногообразий — произвольные алгебраические системы, с. viii.
  2. Мальцев, 1970, с. 268.
  3. Мальцев, 1970, с. 269-270.
  4. Мальцев, 1970, с. 270.
  5. Мальцев, 1970, с. 271.
  6. Мальцев, 1970, Теорема 2, Следствие 3, с. 271-272.
  7. Мальцев А. И. О включении ассоциативных систем в группы // Математический сборник. — 1999. — Т. 6, № 2. — С. 331—336.
  8. McKinsey J. The desicion problem for some classes of sentences without quqntifiers // Journal of Symbolic Logic. — 1943. — Т. 8. — С. 61-76.
  9. R. P. Dilworth. Lattices with unique complements // Transactions of American Mathematics Society. — 1945. — Т. 56. — С. 123-154.
  10. Горбунов, 1999, с. vii—viii.

ЛитератураПравить

  • Горбунов В. А. Алгебраическая теория квазимногообразий. — Новосибирск: Научная книга, 1999. — 368 с. — (Сибирская школа алгебры и логики). — ISBN 5-88119-015-7.
  • Аратмонов В. А.; Салий В. Н.; Скорняков Л. А.; Шеврин Л. Н.; Шульгейфер Е. Г. Универсальные алгебры // Общая алгебра / под общей редакцией Скорнякова Л. А.. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 500 экз. — ISBN 5-02-014427-4.
  • Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.