Открыть главное меню

Кванти́ль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью. Если вероятность задана в процентах, то квантиль называется процентилем или перцентилем (см. ниже).

Например, фраза «для развитых стран 99-процентиль продолжительности жизни составляет 100 лет» означает, что ожидается, что 99 % людей проживут не более, чем 100 лет.

Содержание

ОпределениеПравить

Рассмотрим вероятностное пространство   и   — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины  . Пусть фиксировано  . Тогда  -квантилем (или квантилем уровня  ) распределения   называется число  , такое что

  ,
 

В некоторых источниках (например, в англоязычной литературе)  -ым  -квантилем называется квантиль уровня  , то есть  -квантиль в предыдущих обозначениях.

ЗамечанияПравить

 

где   — функция распределения  .

  • Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство:
 
  1. составляем вариационный ряд значений   (выборка имеет объём  ), а также считаем, что   (это необходимо при вычислении 100% квантили по приводимым ниже формулам);
  2. находим величину  ;
  3. сравниваем   и  :
a) если  , то полагаем  ;
б) если  , то полагаем  ;
в) если  , то полагаем  .

Заданный таким образом  -квантиль удовлетворяет приведенному выше определению.

В некоторых случаях (при большом объёме выборки и эмпирическом распределении, близком к непрерывному) вместо равенства   можно использовать приближённое сравнение   (это позволит, например, квантиль уровня 1/3 представлять как 0,33…333 при компьютерной обработке данных).

Медиана и квартилиПравить

 
Квантили нормального распределения
  • 0,25-квантиль называется первым (или нижним) кварти́лем (от лат. quarta — четверть);
  • 0,5-квантиль называется медианой (от лат. mediāna — середина) или вторым кварти́лем;
  • 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) кварти́лем.

Интеркварти́льным размахом (англ. Interquartile range) называется разность между третьим и первым квартилями, то есть  . Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастным аналогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.

ДецильПравить

Деци́ль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля, от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Так же, как в случае моды и медианы, у интервального вариационного ряда распределения каждый дециль (и квартиль) принадлежит определённому интервалу и имеет вполне определённое значение[1].

ПроцентильПравить

 проценти́лем называют квантиль уровня  . При этом обычно рассматривают процентили для целых  , хотя данное требование не обязательно[источник не указан 1623 дня]. Соответственно, медиана является 50-м процентилем, а первый и третий квартиль — 25-м и 75-м процентилями соответственно.

В целом, понятия квантиль и процентиль взаимозаменяемы[источник не указан 1623 дня], так же как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная.

Процентили также называются перцентилями или центилями.

Квантили стандартного нормального распределенияПравить

Вероятность (уровень квантили), % 99,99 99,90 99,00 97,72 97,50 95,00 90,00 84,13 50,00
Квантиль 3,715 3,090 2,326 2,000 1,960 1,645 1,282 1,000 0,000

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Шмойлова Р. А., Минашкин В. Г., Садовникова Н. А. Практикум по теории статистики. — 3-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2011. — С. 130—131. — 416 с. — ISBN 9785279032969..

СсылкиПравить