Особенность твёрдого тела позволяет ввести связанную с ним ортонормированную систему координат
(
e
→
ξ
,
e
→
η
,
e
→
ζ
)
{\displaystyle ({\vec {e}}_{\xi },{\vec {e}}_{\eta },{\vec {e}}_{\zeta })}
S
{\displaystyle S}
O
x
y
z
,
(
e
→
x
,
e
→
y
,
e
→
z
)
{\displaystyle Oxyz,\,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})}
r
→
(
t
)
=
r
→
S
(
t
)
+
ξ
e
→
ξ
(
t
)
+
η
e
→
η
(
t
)
+
ζ
e
→
ζ
(
t
)
{\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{S}(t)+\xi {\vec {e}}_{\xi }(t)+\eta {\vec {e}}_{\eta }(t)+\zeta {\vec {e}}_{\zeta }(t)}
ξ
˙
=
η
˙
=
ζ
˙
=
0
{\displaystyle {\dot {\xi }}={\dot {\eta }}={\dot {\zeta }}=0}
e
→
˙
i
≠
0
(
i
=
ξ
,
η
,
ζ
)
{\displaystyle {\dot {\vec {e}}}_{i}\neq 0\,(i=\xi ,\eta ,\zeta )}
Пусть
(
e
→
ξ
e
→
η
e
→
ζ
)
=
A
^
(
e
→
x
e
→
y
e
→
z
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}={\hat {A}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}}
углов Эйлера .
Так как базисы ортонормированы,
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
ортогональна , вследствие чего
A
^
A
^
T
=
E
{\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E}
Скорость произвольной точки тела тогда:
v
→
(
t
)
=
v
→
S
(
t
)
+
(
ξ
,
η
,
ζ
)
(
e
→
˙
ξ
e
→
˙
η
e
→
˙
ζ
)
=
v
→
S
(
t
)
+
(
ξ
,
η
,
ζ
)
A
^
˙
(
e
→
x
e
→
y
e
→
z
)
=
v
→
S
(
t
)
+
(
ξ
,
η
,
ζ
)
A
^
˙
A
^
T
(
e
→
ξ
e
→
η
e
→
ζ
)
{\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\begin{pmatrix}{\dot {\vec {e}}}_{\xi }\\{\dot {\vec {e}}}_{\eta }\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }\end{pmatrix}}={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}}
Дифференцирование
A
^
A
^
T
=
E
{\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E}
A
^
˙
A
^
T
=
−
A
^
A
^
˙
T
{\displaystyle {\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}=-{\hat {A}}{\dot {\hat {A}}}^{T}}
антисимметричность
A
^
˙
A
^
T
=
Ω
^
{\displaystyle {\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}={\hat {\Omega }}}
Ω
^
=
(
0
ω
ζ
−
ω
η
−
ω
ζ
0
ω
ξ
ω
η
−
ω
ξ
0
)
{\displaystyle {\hat {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&\omega _{\zeta }&-\omega _{\eta }\\-\omega _{\zeta }&0&\omega _{\xi }\\\omega _{\eta }&-\omega _{\xi }&0\end{pmatrix}}}
Обозначения мотивированы введением
ω
→
=
ω
ξ
e
→
ξ
+
ω
η
e
→
η
+
ω
ζ
e
→
ζ
{\displaystyle {\vec {\omega }}=\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\eta }+\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\zeta }}
угловой скорости ). Тогда:
{
e
→
˙
ξ
=
ω
ζ
e
→
η
−
ω
η
e
→
ζ
=
[
ω
→
×
e
→
ξ
]
,
e
→
˙
η
=
−
ω
ζ
e
→
ξ
+
ω
ξ
e
→
ζ
=
[
ω
→
×
e
→
η
]
,
e
→
˙
ζ
=
ω
η
e
→
ξ
−
ω
ξ
e
→
η
=
[
ω
→
×
e
→
ζ
]
;
{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\vec {e}}}_{\xi }=\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\eta }-\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\xi }],\\{\dot {\vec {e}}}_{\eta }=-\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\eta }],\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }=\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\xi }-\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\eta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\zeta }];\end{cases}}}
Полученные выражения иначе называют формулами Пуассона.
Формула Эйлера фиксирует связь между скоростями различных точек
A
,
B
{\displaystyle A,B}
v
→
B
=
v
→
A
+
[
ω
→
×
A
B
→
]
{\displaystyle {\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]}
{
v
→
A
=
v
→
S
+
(
ξ
A
,
η
A
,
ζ
A
)
Ω
(
e
→
ξ
e
→
η
e
→
ζ
)
,
v
→
B
=
v
→
S
+
(
ξ
B
,
η
B
,
ζ
B
)
Ω
(
e
→
ξ
e
→
η
e
→
ζ
)
;
⇒
v
→
B
−
v
→
A
=
(
ξ
B
−
ξ
A
,
η
B
−
η
A
,
ζ
B
−
ζ
A
)
Ω
(
e
→
ξ
e
→
η
e
→
ζ
)
⇔
v
→
B
=
v
→
A
+
[
ω
→
×
A
B
→
]
{\displaystyle {\begin{cases}{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{S}+(\xi _{A},\eta _{A},\zeta _{A})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}},\\{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{S}+(\xi _{B},\eta _{B},\zeta _{B})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}};\\\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A}=(\xi _{B}-\xi _{A},\eta _{B}-\eta _{A},\zeta _{B}-\zeta _{A})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}\;\Leftrightarrow \;{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]}
Если
v
→
A
=
v
→
B
{\displaystyle {\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{B}}
ω
→
∥
A
B
→
{\displaystyle {\vec {\omega }}\parallel {\overrightarrow {AB}}}
ω
→
{\displaystyle {\vec {\omega }}}
инвариантен по отношению к выбору подвижной системы координат.Вектор угловой скорости связан с полем скоростей точек тела
ω
→
=
1
2
∇
×
v
→
{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}}
Формула Ривальса связывает ускорения различных точек
A
,
B
{\displaystyle A,B}
Для
ε
→
=
ω
→
˙
{\displaystyle {\vec {\varepsilon }}={\dot {\vec {\omega }}}}
углового ускорения ), с учётом того, что
A
B
→
˙
=
[
ω
→
×
A
B
→
]
{\displaystyle {\dot {\overrightarrow {AB}}}=[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]}
a
→
B
=
a
→
A
+
[
ε
→
×
A
B
→
]
+
[
ω
→
×
[
ω
→
×
A
B
→
]
]
{\displaystyle {\vec {a}}_{B}={\vec {a}}_{A}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {AB}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]{\big ]}}
Последний член в формуле Ривальса определяет осестремительное ускорение .
Для случаев затруднительного описания движения твёрдого тела относительно неподвижной СО , вводятся формулы сложного движения (т.е. описывающие движение относительно подвижной СО).
Для абсолютной системы отсчёта
O
x
y
z
,
(
e
→
x
,
e
→
y
,
e
→
z
)
{\displaystyle Oxyz,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})}
P
ξ
η
ζ
(
e
→
ξ
,
e
→
η
,
e
→
ζ
)
{\displaystyle P\xi \eta \zeta \,({\vec {e}}_{\xi },{\vec {e}}_{\eta },{\vec {e}}_{\zeta })}
r
→
S
/
O
=
r
→
S
/
P
+
r
→
P
/
O
{\displaystyle {\vec {r}}_{S/O}={\vec {r}}_{S/P}+{\vec {r}}_{P/O}}
Радиус-вектор к точке
S
{\displaystyle S}
Дифференцирование по времени формулы для радиус-вектора приводит к формуле сложения скоростей
v
→
S
/
O
=
v
→
P
/
O
+
v
→
S
/
P
+
[
ω
→
×
P
S
→
]
{\displaystyle {\vec {v}}_{S/O}={\vec {v}}_{P/O}+{\vec {v}}_{S/P}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]}
ω
→
{\displaystyle {\vec {\omega }}}
v
→
S
/
O
{\displaystyle {\vec {v}}_{S/O}}
S
{\displaystyle S}
v
→
S
/
P
=
ξ
˙
e
→
ξ
+
η
˙
e
→
η
+
ζ
˙
e
→
ζ
{\displaystyle {\vec {v}}_{S/P}={\dot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi }+{\dot {\eta }}{\vec {e}}_{\eta }+{\dot {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }}
Слагаемое же
v
→
P
/
O
+
[
ω
→
×
P
S
→
]
{\displaystyle {\vec {v}}_{P/O}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]}
Повторное дифференцирование даёт
a
→
S
/
O
=
a
→
P
/
O
+
a
→
S
/
P
+
[
ε
→
×
P
S
→
]
+
[
ω
→
×
[
ω
→
×
P
S
→
]
]
+
2
[
ω
→
×
v
→
S
/
P
]
{\displaystyle {\vec {a}}_{S/O}={\vec {a}}_{P/O}+{\vec {a}}_{S/P}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{\big ]}+2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]}
ε
→
{\displaystyle {\vec {\varepsilon }}}
a
→
S
/
O
{\displaystyle {\vec {a}}_{S/O}}
a
→
P
/
O
=
ξ
¨
e
→
ξ
+
η
¨
e
→
η
+
ζ
¨
e
→
ζ
{\displaystyle {\vec {a}}_{P/O}={\ddot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi }+{\ddot {\eta }}{\vec {e}}_{\eta }+{\ddot {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }}
a
→
S
/
P
+
[
ε
→
×
P
S
→
]
+
[
ω
→
×
[
ω
→
×
P
S
→
]
]
{\displaystyle {\vec {a}}_{S/P}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{\big ]}}
2
[
ω
→
×
v
→
S
/
P
]
{\displaystyle 2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]}
кориолисово ускорение .Запись формулы Эйлера в подвижной СО, вращающейся с угловой скоростью
ω
→
P
/
O
{\displaystyle {\vec {\omega }}_{P/O}}
ω
→
S
/
P
{\displaystyle {\vec {\omega }}_{S/P}}
v
→
B
/
O
=
v
→
A
/
O
+
[
ω
→
S
/
P
×
A
B
→
]
+
[
ω
→
P
/
O
×
A
B
→
]
{\displaystyle {\vec {v}}_{B/O}={\vec {v}}_{A/O}+[{\vec {\omega }}_{S/P}\times {\overrightarrow {AB}}]+[{\vec {\omega }}_{P/O}\times {\overrightarrow {AB}}]}
A
,
B
{\displaystyle A,B}
ω
→
S
/
O
=
ω
→
P
/
O
+
ω
→
S
/
P
{\displaystyle {\vec {\omega }}_{S/O}={\vec {\omega }}_{P/O}+{\vec {\omega }}_{S/P}}
Иначе, абсолютная угловая скорость равна сумме относительной и переносной.
править
Мгновенно-винтовое движение , характеризуемое тем, что найдётся
l
∥
ω
→
{\displaystyle l\parallel {\vec {\omega }}}
S
∈
l
:
v
→
S
∥
l
{\displaystyle S\in l:{\vec {v}}_{S}\parallel l}
Мгновенно-поступательное движение характеризуется тем, что
ω
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\omega }}=0}
Мгновенно-вращательное движение , частный случай мгновенно-винтового, т.е. найдётся
l
{\displaystyle l}
l
{\displaystyle l}
Плоско-параллельное движение осуществляется, если каждая точка тела движется параллельно неподвижной плоскости (пусть
O
x
y
{\displaystyle Oxy}
ω
→
⊥
O
x
y
{\displaystyle {\vec {\omega }}\perp Oxy}
мгновенный центр скоростей — мгновенно-неподвижную точку
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
неподвижная центроида, тогда как в подвижной СО, соответственно, подвижная центроида. Вращение вокруг неподвижной точки. По формуле Эйлера, если
O
{\displaystyle O}
l
=
O
ω
{\displaystyle l=O\omega }
неподвижной и подвижной аксоидами (в зависимости от рассматриваемой СО)
править
Теоретическая механика/Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. — М., 2010.
Общий курс физики Т.I. Механика/Сивухин Д.В. — М., 1979. — $7, с. 45-47 
![{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\vec {e}}}_{\xi }=\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\eta }-\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\xi }],\\{\dot {\vec {e}}}_{\eta }=-\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\eta }],\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }=\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\xi }-\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\eta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\zeta }];\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f82d481a199cf986caef796781cdb8ddce9592)
![{\displaystyle {\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4550a278839201140981a5e590599db1705ca93c)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{S}+(\xi _{A},\eta _{A},\zeta _{A})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}},\\{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{S}+(\xi _{B},\eta _{B},\zeta _{B})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}};\\\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A}=(\xi _{B}-\xi _{A},\eta _{B}-\eta _{A},\zeta _{B}-\zeta _{A})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}\;\Leftrightarrow \;{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd3cbb41875807029085800327593ba028457e2)
![{\displaystyle {\dot {\overrightarrow {AB}}}=[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b3d468ac44f6648478d8557a654a452699370a)
![{\displaystyle {\vec {a}}_{B}={\vec {a}}_{A}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {AB}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f90362e8290876c79fc6513165cea387a8ec08)
![{\displaystyle {\vec {v}}_{S/O}={\vec {v}}_{P/O}+{\vec {v}}_{S/P}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0740d1605945dca7fdcb5e69ccf15b5a899100)
![{\displaystyle {\vec {v}}_{P/O}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f527143f6ecdc876ae8049270e2ed3f249522ae4)
![{\displaystyle {\vec {a}}_{S/O}={\vec {a}}_{P/O}+{\vec {a}}_{S/P}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{\big ]}+2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9eb900abbad481697385dbba5b000b3fac6135)
![{\displaystyle {\vec {a}}_{S/P}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78201c96df904319f5d38c8f02554fda03b04c7b)
![{\displaystyle 2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88cc4f941504f5ca662b51800112868ff90cb5b7)
![{\displaystyle {\vec {v}}_{B/O}={\vec {v}}_{A/O}+[{\vec {\omega }}_{S/P}\times {\overrightarrow {AB}}]+[{\vec {\omega }}_{P/O}\times {\overrightarrow {AB}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd1fb906d300e877020cacfa03383d6c95bbadc9)
