Компле́кс[1] (от лат. compléxus — связь, сочетание) — одно из основных понятий комбинаторной топологии.

Комплексом называется частично упорядоченное правильным, рефлексивным и транзитивным отношением «» множество каких-либо элементов , вместе с некими функциями и .

Целочисленная функция называется размерностью элемента , функция  — коэффициентом инцидентности элементов и . Эти функции должны удовлетворять следующим условиям:

  1. из следует, что ;
  2. ;
  3. из следует, что либо , либо , и ;
  4. для любой пары элементов , из , для которых , в найдётся не более, чем конечное число таких элементов , что
и .

Связанные определения

править

При замене   на  , где   — функция со значениями ±1, получается комплекс, отождествляемый с  . Таким образом, коэффициенты инциденции   задаются с точностью до множителя  . Переход от одного значения к другому называется переменой ориентации комплекса  .

Комплекс   называется конечномерным ( -мерным), если существует такое  , равное максимальной размерности симплексов из  ; в противном случае, он называется бесконечномерным. Комплекс   называется конечным, если множество его элементов конечно.

Звездой элемента   комплекса   называется множество всех таких элементов   из  , для которых выполняется условие  .

Замыканием элемента   из   называется множество всех таких элементов   из  , что  .

Границей элемента   из   называется множество всех таких элементов   из  , что одновременно   и  .

Элемент   называется гранью элемента   из  , если  . При   грань   элемента   называется истинной гранью.

Элементы   и   из   называются инцидентными, если   или  .

Подкомплексом комплекса   называется любое подмножество множества  , являющееся комплексом при тех же размерностях и коэффициентах инцидентности, что и комплекс  .

Подкомплекс называется замкнутым, если он содержит замыкание каждого своего элемента, и открытым, если он содержит звезду каждого своего элемента. Дополнение замкнутого комплекса есть открытый комплекс, и наоборот. Звезда каждого элемента любого комплекса является открытым подкомплексом, а замыкание и граница — замкнутыми подкомплексами.

 -мерным остовом   комплекса   называется множество всех таких элементов   из  , что  . Остов является замкнутым подкомплексом.

Комплексы   и   называется изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение   множества   на множество  , что   и  :

 

Важнейшим типом комплекса является симплициальный комплекс.

Симплициальный комплекс имеет две разновидности:

  • абстрактный комплекс;
  • геометрический комплекс.

Примечания

править
  1. См., например,
    • Комплекс (матем.) // Коллиматор — Коржины. — М. : Советская энциклопедия, 1953. — С. 293. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 22).
    • Русский орфографический словарь Российской академии наук // Отв. ред. В. В. Лопатин, 2007.