Симплициальный комплекс

Трёхмерный геометрический комплекс.

Симплициальный компле́кс[1], или симплициальное пространство, — топологическое пространство с заданной на нём триангуляцией, то есть, неформально говоря, склеенное из топологических симплексов по определённым правилам.

ОпределенияПравить

Симплициальный комплексПравить

Симплициальный комплекс — топологическое пространство, представленное как объединение множеств, гомеоморфных симплексу и образующих триангуляцию этого пространства.

Геометрический комплексПравить

Это понятие является частным случаем предыдущего, когда рассматриваются симплексы в евклидовом пространстве.

Геометрический комплекс — множество симплексов в евклидовом пространстве таких, что:

  • с любым из симплексов в это множество входят все его грани;
  • любые два симплекса либо вообще не имеют общей точки, либо пересекаются только по целой грани какой-то размерности, причём только по одной грани;
  • у любой точки   комплекса есть окрестность   такая, что если   пересекается с симплексом комплекса  , то  .

Часто дополнительно требуют локальную конечность, то есть должно выполняться следующее условие:

  • любая точка комплекса имеет окрестность, пересекающуюся не более чем с конечным числом симплексов.

Абстрактный комплексПравить

Абстрактный комплекс[en] — это множество   с выделенным набором его конечных подмножеств   таких, что если   и   то  .

При этом элементы множества   называются вершинами комплекса, а элементы множества   называются его симплексами.

Связанные определенияПравить

  • n-мерным остовом комплекса называется подкомплекс, образованный всеми его симплексами размерности не более n.
  • Размерность симплициального комплекса определяется как максимальная размерность его симплексов.

Пусть K есть симплициальный комплекс, и пусть S — некоторый набор симплексов в K.

  • Замыкание   (обозначается  ) есть наименьший подкомплекс в  , содержащий каждый симплекс из  . Замыкание   может быть получено путём добавления к   всех граней всех симплексов из  .
  • Звезда от   (обозначается  ) — объединение звёзд всех симплексов в  . Для одного симплекса   звезда   — это набор симплексов, имеющих   своей гранью. (Звезда - S, как правило, не является симплициальным комплексом).
  • Линк   (обозначается  ) может быть определён как
     
Это — подкомплекс, образованный всеми симплексами, входящими в симплексы большей размерности вместе с симплексом из   но не имеющие граней из  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Комплекс (матем.) // Коллиматор — Коржины. — М. : Советская энциклопедия, 1953. — С. 293. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 22). ;
    Русский орфографический словарь Российской академии наук / Отв. ред. В. В. Лопатин. — М., 2007.

ЛитератураПравить

  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3, стр.151. Том 4, стр.1168. (М.: Советская энциклопедия, 1985.)