Конечно порождённое расширение

Коне́чно порождённое расшире́ние по́ля  — расширение поля , такое, что в существуют элементы такие, что . Элементы суть алгебраические дроби , где и  — многочлены. Если , то расширение называется простым.

Свойство конечно порождённых расширенийПравить

Если конечно порождённое расширение   алгебраично над  , то оно конечно.

Для простого алгебраического расширения   это следует из того, что множество значений многочленов от     является не только кольцом, но и полем. Действительно, пусть  . Тогда многочлен   не делится на  минимальный многочлен   над  . Но  неприводимый многочлен, значит   и   взаимно просты. Отсюда следует, что существуют такие многочлены   и   над  , что  . Подставляя в это равенство   имеем  , то есть   обратим и   является искомым полем  . Таким же образом деля   на   получаем, что если   имеет степень  , то  

Для расширения от нескольких элементов имеем:  . Элементы   будучи алгебраическими над   остаются таковыми и над большим полем  . Далее применяем теорему о башне конечных расширений.

ЛитератураПравить

  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
  • Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967

См. такжеПравить