Критерий Фридмана

Критерий Фридмана[1] (англ. Friedman test) — непараметрический статистический тест, разработанный американским экономистом Милтоном Фридманом. Является обобщением критерия Уилкоксона и применяется для сопоставления условий измерения () для объектов (испытуемых) с ранжированием по индивидуальным значениям измерений[2]. Непараметрический аналог дисперсионного анализа с повторными измерениями ANOVA.

Задача

править

Дана выборка из   измерений для каждого из   испытуемых, которую можно представить в виде таблицы[2][3]:

Условия
№ объекта        
         
         
         
         

В качестве нулевой гипотезы   рассматривается следующая: «между полученными в разных условиях измерениями имеются лишь случайные различия»[2]. Выбирается уровень значимости  , например,   (вероятность ошибочно отклонить нулевую гипотезу).

Проверка гипотезы

править

Для начала получим таблицу рангов по строкам, при котором получаем ранги   объекта   при ранжировке  [3]:

Ранги
№ объекта        
         
         
         
         

Получим суммы рангов и введём другие обозначения:

 
 
 

Для проверки гипотезы будем использовать эмпирическое значение критерия — статистику:

 ,

которую можно записать также в виде:

 

Нулевая гипотеза принимается, если критическое значение критерия превосходит эмпирическое:

 

Для малых значений   и   для критического значения Фридмана существуют таблицы для разных значений уровня значимости   (или доверительной вероятности[3]  ).

При   и   применима аппроксимация —  -квантиль распределения хи-квадрат с   степенями свободы[3]:

 

Для некоторых малых значений статистику можно преобразовать для аппроксимации  -квантилью распределения Фишера или применить статистику Имана-Давенпорта[3].

Примеры

править

Классические примеры применения:

  •   дегустаторов оценивают различные сорта вин. Имеют ли вина значимые отличия?
  • Сварные швы, сделанные   сварщиками с использованием   сварочных горелок, были оценены по качеству. Есть ли отличия в качестве у какой-либо из горелок?

Апостериорный анализ

править

Апостериорный анализ (англ. post-hoc analysis) был предложен Шайхом и Хамерли (1984)[4], а также Коновер (1971, 1980)[5] для определения того, какие условия существенно отличаются друг от друга, на основании различия их средних рангов[6].

Программная реализация

править

Тест Фридмана содержится во многих пакетах программ для статистической обработки данных (SPSS, R[7] и других[8]).

Не все статистические пакеты поддерживают апостериорный анализ для теста Фридмана, но программный код можно найти, например, для SPSS[9] и R[10].

Примечания

править
  1. Кобзарь А. И. («Прикладная математическая статистика») называет этот критерий критерием Фридмена-Кендалла-Бэбингтона Смита
  2. 1 2 3 Афанасьев, Сивов, 2010.
  3. 1 2 3 4 5 Кобзарь, 2006.
  4. Schaich, E. & Hamerle, A. (1984). Verteilungsfreie statistische Prüfverfahren. Berlin: Springer. ISBN 3-540-13776-9.
  5. Conover, W. J. (1971, 1980). Practical nonparametric statistics. New York: Wiley. ISBN 0-471-16851-3.
  6. Bortz, J., Lienert, G. & Boehnke, K. (2000). Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. Berlin: Springer. ISBN 3-540-67590-6.
  7. Friedman Rank Sum Test. Дата обращения: 22 ноября 2012. Архивировано 9 января 2019 года.
  8. Friedman's test. Дата обращения: 22 ноября 2012. Архивировано 29 июля 2014 года.
  9. Post-hoc comparisons for Friedman test. Дата обращения: 10 ноября 2012. Архивировано из оригинала 3 ноября 2012 года.
  10. Post hoc analysis for Friedman’s Test (R code). Дата обращения: 10 ноября 2012. Архивировано 13 ноября 2012 года.

Литература

править
  • Афанасьев В. В., Сивов М. А. Математическая статистика в педагогике. — Ярославль: Издательство ЯГПУ, 2010. — С. 63-65. — 76 с. — ISBN 978-5-87555-366-0.
  • Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. — М.: Физматлит, 2006. — С. 484-486. — 816 с. — ISBN 5-9221-0707-0.
  • Myles Hollander, Douglas A. Wolfe. Nonparametric Statistical Methods. — New York: John Wiley & Sons, 1973. — 503 с. — P. 139–146. — ISBN 9780471406358.
  • Friedman, Milton. The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance (англ.) // Journal of the American Statistical Association : journal. — American Statistical Association, 1937. — December (vol. 32, no. 200). — P. 675—701. — doi:10.2307/2279372. — JSTOR 2279372.
  • Friedman, Milton. A correction: The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance (англ.) // Journal of the American Statistical Association : journal. — American Statistical Association, 1939. — March (vol. 34, no. 205). — P. 109. — doi:10.2307/2279169. — JSTOR 2279169.
  • Friedman, Milton. A comparison of alternative tests of significance for the problem of m rankings (англ.) // The Annals of Mathematical Statistics[англ.] : journal. — 1940. — March (vol. 11, no. 1). — P. 86—92. — doi:10.1214/aoms/1177731944. — JSTOR 2235971.