Критерий знаков

В математической статистике критерий знаков используется при проверке нулевой гипотезы о равенстве медианы некоторому заданному значению (для одной выборки) или о равенстве нулю медианы разности (для двух связанных выборок).[1] Это непараметрический критерий, то есть он не использует никаких данных о характере распределения, и может применяться в широком спектре ситуаций, однако при этом он может иметь меньшую мощность, чем более специализированные критерии.

Описание метода для двух выборокПравить

Рассмотрим две непрерывно распределенные случайные величины X и Y, и пусть нулевая гипотеза выполняется, то есть медиана их разности равна нулю. Тогда  . Иными словами, каждая из случайных величин равновероятно больше другой.

Рассмотрим пару связных выборок  . Будем считать, что в выборке нет элементов, для которых   (иначе уберем эти элементы из выборки). Построим статистику w, равную числу элементов в выборке, при которых  . При выполнении нулевой гипотезы, эта величина имеет биномиальное распределение:  .

Для применения критерия необходимо вычислить «левый хвост» биномиального распределения до w:  . Согласно критерию, при уровне значимости  :

  • против двусторонней альтернативной гипотезы  
если  , то нулевая гипотеза отвергается;
  • против альтернативы  
если  , то нулевая гипотеза отвергается;
  • против альтернативы  
если  , то нулевая гипотеза отвергается;

Пример задачиПравить

Первая выборка — это значения некоторой характеристики состояния пациентов, записанные до лечения. Вторая выборка — это значения той же характеристики состояния тех же пациентов, записанные после лечения.

Порядок элементов (в данном случае пациентов) в выборках и объёмы выборок обязаны совпадать. Такие выборки и называются связанными.

Требуется выяснить, является ли лечение эффективным, то есть имеется ли значимое отличие в состоянии пациентов до и после лечения, или различия чисто случайны.

Заданы две выборки одинаковой длины  .

Дополнительные предположения:

  • обе выборки простые;
  • выборки связные, то есть элементы   соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).

Нулевая гипотеза  .

Если в выборке имеются случаи  , то их следует исключить из выборки, уменьшив число наблюдений. Статистика критерия — это число w элементов в выборке, при которых  .

СсылкиПравить

  1. The Sign Test for a Median // STAT 415 Intro Mathematical Statistics. Penn State University.