В математике лагранжевой системой называется пара гладкого расслоения и лагранжевой плотности , которая определяет дифференциальный оператор Эйлера — Лагранжа, действующий на сечения расслоения .

В классической механике многие динамические системы являются лагранжевыми. Конфигурационным пространством такой лагранжевой системы служит расслоение над осью времени (в частности, , если система отсчёта фиксирована). В классической теории поля, все полевые системы являются лагранжевыми.

Лагранжева плотность (или просто лагранжиан) порядка определяется как -форма, dim, на многообразии струй порядка сечений расслоения . Лагранжиан может быть введён как элемент вариационного бикомплекса дифференциальной градуированной алгебры внешних форм на многообразиях струй расслоения . Оператор кограницы этого бикомплекса содержит вариационный оператор , который, действуя на , определяет ассоциированный оператор Эйлера — Лагранжа . Относительно координат на расслоении и соответствующих координат (, ) на многообразии струй лагранжиан и оператор Эйлера — Лагранжа имеют вид:

где

обозначают полные производные. Например, лагранжиан первого порядка и оператор Эйлера — Лагранжа второго порядка принимают форму

Ядро оператора Эйлера — Лагранжа задаёт уравнение Эйлера — Лагранжа .

Когомологии вариационного бикомплекса определяют так называемую вариационную формулу

где

- полный дифференциал и - эквивалент Лепажа лагранжиана . Первая и вторая теоремы Нётер являются следствиями этой вариационной формулы.

Будучи обобщённым на градуированные многообразия, вариационный бикомплекс описывает градуированные лагранжевы системы четных и нечётных переменных.

В другом варианте лагранжиан, оператор Эйлера — Лагранжа и уравнения Эйлера — Лагранжа вводятся в рамках вариационного исчисления.

См. также

править

Литература

править

Ссылки

править