Лемма Синга

Лемма Синга — ключевое утверждение о стабильности замкнутых геодезических в римановых многообразиях с положительной секционной кривизной.

Лемма является прямым следствием формулы для второй вариации длин однопараметрического семейства кривых. Она использовалась Джоном Сингом.

Формулировка

Пусть $\gamma \colon [0;1]\to M$ есть геодезическая в римановом многообразии $M$ с положительной секционной кривизной и $V$ параллельное поле касательных векторов на $\gamma$. Тогда вариация $\gamma$ в направлении $V$ сокращает её длину.

Более точно, если

$\gamma _{\tau }(t)=\exp _{\gamma (t)}(\tau \cdot V(t))$

и $L(\tau )$ обозначает длину кривой $\gamma _{\tau }$ тогда $L'(0)=0$ и $L''(0)<0$.

Следствия

• Eсли замкнутая геодезическая допускающая параллельное векторное поле не является стабильной, то есть её длина может быть уменьшена произвольно малой деформацией. В частности,
  • Чётномерные ориентированные римановы многообразия с положительной секционной кривизной односвязны.
  • Нечётномерные римановы многообразия с положительной секционной кривизной ориентированны.
• Лемма Синга использовалась также Теодором Франкелем для доказательства того, что если $V$ и $W$ являются замкнутыми геодезическими подмногобразиями в римановом многообразии $M$ с положительной секционной кривизной и $\dim V+\dim W\geq \dim M$ то $V$ и $W$ пересекаются.