Лемма о руке

Лемма о руке — лемма в доказательстве теоремы Коши о многогранниках.

Неформально утверждение можно описать следующим образом: Представьте себе руку робота, состоящую из нескольких звеньев, соединённых суставами. Каждое звено — это отрезок, а вся рука — ломаная. Пусть вся рука робота может двигаться в одной плоскости. Предположим, в изначальном состоянии рука робота образует выпуклую ломаную, то есть такую ломаную, что если мы соединим концы ломаной, то получим выпуклый многоугольник. Допустим теперь, что робот увеличивает угол в каждом суставе. Лемма утверждает, что тогда увеличится и расстояние между началом и концом руки.

Несмотря на простоту формулировки, доказательство леммы не просто. В частности, именно в этом месте оригинальное доказательство Коши имеет ошибку. Эта ошибка оставалась незамеченной более ста лет. Она была замечена Эрнстом Штейницем, видимо, между 1920 и 1928 годами и исправлена только в 1934.

Формулировка

Предположим, $A_{1}A_{2}\dots A_{n}$ выпуклый многоугольник на евкидовой плоскости и $B_{1}B_{2}\dots B_{n}$ ломаная в плоскости или пространстве такая, что

• $A_{i}A_{i+1}=B_{i}B_{i+1}$ при $i<n$,
• $\measuredangle A_{i-1}A_{i}A_{i+1}\leq \measuredangle B_{i-1}B_{i}B_{i+1}$ при $1<i<n$.

Тогда

$A_{1}A_{n}\leq B_{1}B_{n}.$

Более того, в случае равенства ломаные $A_{1}A_{2}\dots A_{n}$ и $B_{1}B_{2}\dots B_{n}$ конгруэнтны.

Вариации и обобщения

• Аналогичный результат верен на сфере и плоскости Лобачевского.
  • Более того, лемма естественно обобщается на CAT(κ) пространства.

• Теорема Залгаллера. Если у двух сферических $n$-гольников $A$ и $B$ соответственные стороны равны и многоугольник $A$ лежит в полусфере, то хотя бы один из углов $B$ не меньше соответственного угла $A$.

• Лемма о согнутом луке (или теорема Шура) — версия леммы о руке для гладких кривых:
  • Пусть $\gamma$ и ${\tilde {\gamma }}$ — пара гладких кривых пареметризованных длиной определённых на одном и том же интервале $[a,b]$. Предположим, что для любого $t$ выполняется неравенство $\kappa _{\gamma }(t)\leq \kappa _{\tilde {\gamma }}(t)$, где $\kappa _{\gamma }(t)$ и $\kappa _{\tilde {\gamma }}(t)$ обозначает кривизну $\gamma$ и соответственно ${\tilde {\gamma }}$ при $t$. Далее предположим, что ${\tilde {\gamma }}$ есть дуга плоской выпуклой кривой, то есть она проходит вдоль границы некоторой выпуклой плоской фигуры. Тогда расстояние между концами $\gamma$ не превосходит расстояния между концаму ${\tilde {\gamma }}$; то есть,

    $|\gamma (b)-\gamma (a)|\geq |{\tilde {\gamma }}(b)-{\tilde {\gamma }}(a)|.$

(Лемма верна если $\gamma$ есть кривая в евклидовом пространстве произвольной размерности.)

См. также

• Лемма Александрова

Литература

• И. Х. Сабитов, Вокруг доказательства леммы Лежандра — Коши о выпуклых многоугольниках Сиб. матем. журн., 2004, том 45, № 4, с. 892—919
• Лекция 24 в Табачников С.Л., Фукс Д.Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — ISBN 978-5-94057-731-7.