Открыть главное меню

Лямбда-исчисление

Чистое -исчислениеПравить

Чистое λ-исчисление, термы которого, называемые также объектами («обами»), или λ-термами, построены исключительно из переменных применением аппликации и абстракции. Изначально наличие каких-либо констант не предполагается.

Аппликация и абстракцияПравить

В основу λ-исчисления положены две фундаментальные операции:

  • Аппликация (лат. applicatio — прикладывание, присоединение) означает применение или вызов функции по отношению к заданному значению. Её обычно обозначают  , где   — функция, а   — аргумент. Это соответствует общепринятой в математике записи  , которая тоже иногда используется, однако для λ-исчисления важно то, что   трактуется как алгоритм, вычисляющий результат по заданному входному значению. В этом смысле аппликация   к   может рассматриваться двояко: как результат применения   к  , или же как процесс вычисления  . Последняя интерпретация аппликации связана с понятием β-редукции.
  • Абстракция или λ-абстракция (лат. abstractio — отвлечение, отделение) в свою очередь строит функции по заданным выражениям. Именно, если   — выражение, свободно[en] содержащее  , тогда запись   означает:   функция от аргумента  , которая имеет вид  , обозначает функцию  . Таким образом, с помощью абстракции можно конструировать новые функции. Требование, чтобы   свободно входило в  , не очень существенно — достаточно предположить, что  , если это не так.

α-эквивалентностьПравить

Основная форма эквивалентности, определяемая в лямбда-термах, это альфа-эквивалентность. Например,   и  : альфа-эквивалентные лямбда-термы и оба представляют одну и ту же функцию (функцию тождества). Термы   и   не альфа-эквивалентны, так как они не находятся в лямбда-абстракции.

β-редукцияПравить

Поскольку выражение   обозначает функцию, ставящую в соответствие каждому   значение  , то для вычисления выражения

 ,

в которое входят и аппликация и абстракция, необходимо выполнить подстановку числа 3 в терм   вместо переменной  . В результате получается  . Это соображение в общем виде записывается как

 

и носит название β-редукция. Выражение вида  , то есть применение абстракции к некому терму, называется редексом (redex). Несмотря на то, что β-редукция по сути является единственной «существенной» аксиомой  -исчисления, она приводит к весьма содержательной и сложной теории. Вместе с ней  -исчисление обладает свойством полноты по Тьюрингу и, следовательно, представляет собой простейший язык программирования.

η-преобразованиеПравить

 -преобразование выражает ту идею, что две функции являются идентичными тогда и только тогда, когда, будучи применёнными к любому аргументу, дают одинаковые результаты.  -преобразование переводит друг в друга формулы   и   (только если   не имеет свободных вхождений в  : иначе, свободная переменная   после преобразования станет связанной внешней абстракцией или наоборот).

Каррирование (карринг)Править

Функция двух переменных   и     может быть рассмотрена как функция одной переменной  , возвращающая функцию одной переменной  , то есть как выражение  . Такой приём работает точно так же для функций любой арности. Это показывает, что функции многих переменных могут быть выражены в  -исчислении и являются «синтаксическим сахаром». Описанный процесс превращения функций многих переменных в функцию одной переменной называется карринг (также: каррирование), в честь американского математика Хаскелла Карри, хотя первым его предложил М. Э. Шейнфинкель (1924).

Семантика бестипового -исчисленияПравить

Тот факт, что термы  -исчисления действуют как функции, применяемые к термам  -исчисления (то есть, возможно, к самим себе), приводит к сложностям построения адекватной семантики  -исчисления. Чтобы придать  -исчислению какой-либо смысл, необходимо получить множество  , в которое вкладывалось бы его пространство функций  . В общем случае такого   не существует по соображениям ограничений на мощности этих двух множеств,   и функций из   в  : второе имеет бо́льшую мощность, чем первое.

Эту трудность в начале 1970-х годов преодолел Дана Скотт, построив понятие области   (изначально на полных решётках[1], в дальнейшем обобщив до полного частично упорядоченного множества со специальной топологией) и урезав   до непрерывных в этой топологии функций[2]. На основе этих построений была создана денотационная семантика[en] языков программирования, в частности, благодаря тому, что с помощью них можно придать точный смысл таким двум важным конструкциям языков программирования, как рекурсия и типы данных.

Связь с рекурсивными функциямиПравить

Рекурсия — это определение функции через себя; на первый взгляд, лямбда-исчисление не позволяет этого, но это впечатление обманчиво. Например, рассмотрим рекурсивную функцию, вычисляющую факториал:

f(n) = 1, if n = 0; else n × f(n - 1).

В лямбда-исчислении, функция не может непосредственно ссылаться на себя. Тем не менее, функции может быть передан параметр, связанный с ней. Как правило, этот аргумент стоит на первом месте. Связав его с функцией, мы получаем новую, уже рекурсивную функцию. Для этого аргумент, ссылающийся на себя (здесь обозначен как  ), обязательно должен быть передан в тело функции.

g := λr. λn.(1, if n = 0; else n × (r r (n-1)))
f := g g

Это решает специфичную проблему вычисления факториала, но решение в общем виде также возможно. Получив лямбда-терм, представляющий тело рекурсивной функции или цикл, передав себя в качестве первого аргумента, комбинатор неподвижной точки возвратит необходимую рекурсивную функцию или цикл. Функции не нуждаются в явной передаче себя каждый раз.

Существует несколько определений комбинаторов неподвижной точки. Самый простой из них:

Y = λg.(λx.g (x x)) (λx.g (x x))В лямбда-исчислении,   — неподвижная точка  ; продемонстрируем это:
Y g
(λh.(λx.h (x x)) (λx.h (x x))) g
(λx.g (x x)) (λx.g (x x))
g ((λx.g (x x)) (λx.g (x x)))
g (Y g).Теперь, чтобы определить факториал, как рекурсивную функцию, мы можем просто написать  , где   — число, для которого вычисляется факториал. Пусть  , получаем:
g (Y g) 4
   (λfn.(1, if n = 0; and n·(f(n-1)), if n>0)) (Y g) 4
   (λn.(1, if n = 0; and n·((Y g) (n-1)), if n>0)) 4
   1, if 4 = 0; and 4·(g(Y g) (4-1)), if 4>0
   4·(g(Y g) 3)
   4·(λn.(1, if n = 0; and n·((Y g) (n-1)), if n>0) 3)
   4·(1, if 3 = 0; and 3·(g(Y g) (3-1)), if 3>0)
   4·(3·(g(Y g) 2))
   4·(3·(λn.(1, if n = 0; and n·((Y g) (n-1)), if n>0) 2))
   4·(3·(1, if 2 = 0; and 2·(g(Y g) (2-1)), if 2>0))
   4·(3·(2·(g(Y g) 1)))
   4·(3·(2·(λn.(1, if n = 0; and n·((Y g) (n-1)), if n>0) 1)))
   4·(3·(2·(1, if 1 = 0; and 1·((Y g) (1-1)), if 1>0)))
   4·(3·(2·(1·((Y g) 0))))
   4·(3·(2·(1·((λn.(1, if n = 0; and n·((Y g) (n-1)), if n>0) 0))))
   4·(3·(2·(1·(1, if 0 = 0; and 0·((Y g) (0-1)), if 0>0))))
   4·(3·(2·(1·(1))))
   24

Каждое определение рекурсивной функции может быть представлено как неподвижная точка соответствующей функции, следовательно, используя  , каждое рекурсивное определение может быть выражено как лямбда-выражение. В частности, мы можем определить вычитание, умножение, сравнение натуральных чисел рекурсивно.

В языках программированияПравить

В языках программирования под « -исчислением» зачастую понимается механизм «анонимных функций» — callback-функций, которые можно определить прямо в том месте, где они используются, и которые имеют доступ к локальным переменным текущей функции (замыкание).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Scott D.S. The lattice of flow diagrams.-- Lecture Notes in Mathematics, 188, Symposium on Semantics of Algorithmic Languages.-- Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1971, pp. 311—372.
  2. Scott D.S. Lattice-theoretic models for various type-free calculi. — In: Proc. 4th Int. Congress for Logic, Methodology, and the Philosophy of Science, Bucharest, 1972.

ЛитератураПравить

  • Барендрегт X. Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика: Пер. с англ. — М.: Мир, 1985. — 606 с.