Открыть главное меню

Марковский момент временитеории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса.

Содержание

Дискретный случайПравить

Пусть дана последовательность случайных величин  . Тогда случайная величина   называется марковским моментом (времени), если для любого   событие   зависит только от случайных величин  .

ПримерПравить

Пусть   — последовательность независимых нормальных случайных величин. Пусть  , и

 

— момент первого достижения процессом   уровня  . Тогда   — марковский момент, ибо   тогда и только тогда, когда существует   такое, что  . Таким образом событие   зависит лишь от поведения процесса до момента времени  .

Пусть теперь

 

— момент последнего достижения процессом   уровня  . Тогда   не является марковским моментом, ибо событие   предполагает знание поведения процесса в будущем.

Общий случайПравить

  • Пусть дано вероятностное пространство   с фильтрацией  , где  . Тогда случайная величина   принимающая значения в   называется марковским моментом относительно данной фильтрации, если  .
  • Если дан процесс  , и   — его естественные σ-алгебры, то говорят, что   — марковский момент относительно процесса  .
  • Марковский момент называется моментом остановки, если он конечен почти наверное, то есть
 .

СвойстваПравить

Если   и   — марковские моменты, то

  •   — марковский момент;
  •   — марковский момент;
  •   — марковский момент.

Замечание: момент остановки может не иметь конечного математического ожидания.

ПримерПравить

Пусть   — стандартный винеровский процесс. Пусть  . Определим

 .

Тогда   — марковский момент, имеющий распределение, задаваемое плотностью вероятности

 .

В частности   — момент остановки. Однако,

 .