Матрица Гильберта

В линейной алгебре матрицей Гильберта (введена Давидом Гильбертом в 1894) называется квадратная матрица H с элементами:

Например, матрица Гильберта 5 × 5 имеет вид:

На матрицу Гильберта можно смотреть как на полученную из интегралов:

то есть, как на матрицу Грама для степеней x. Она возникает при аппроксимации функций полиномами методом наименьших квадратов.

Матрицы Гильберта являются стандартным примером плохо обусловленных матриц, что делает их неудобными для вычислений с помощью вычислительно неустойчивых методов. Например, число обусловленности относительно - нормы для вышеприведённой матрицы равно 4.8 · 105.

ИсторияПравить

Гильберт (1894) ввёл матрицу Гильберта при изучении следующего вопроса: "Предположим, что I = [a, b] — вещественный интервал. Возможно ли тогда найти ненулевой многочлен P с целочисленными коэффициентами, такой что интеграл

 

был бы меньше любого заданного числа ε > 0?" Для ответа на данный вопрос Гильберт вывел точную формулу для определителя матриц Гильберта и исследовал их асимптотику. Он пришёл к выводу, что ответ положителен, если длина ba интервала меньше  4.

СвойстваПравить

 

где

 

Уже Гильберт заметил любопытный факт, что определитель матрицы Гильберта является обратным целым числом (см. последовательность A005249 в OEIS). Он следует из равенства

 

Используя формулу Стирлинга можно установить следующий асимптотический результат:

 

где an сходится к константе   при  , где Aпостоянная Глейшера-Кинкелина.

 

где n — порядок матрицы. Таким образом, элементы обратной матрицы   — целые числа.

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  • Hilbert, David (1894), Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms, Acta Mathematica (Springer Netherlands) . — Т. 18: 155–159, ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02418278 . Перепечатано в Hilbert, David. article 21 // Collected papers (неопр.). — Т. II.
  • Beckermann, Bernhard. The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices (англ.) // Numerische Mathematik (англ.) : journal. — 2000. — Vol. 85, no. 4. — P. 553—577. — doi:10.1007/PL00005392.
  • Choi, M.-D. Tricks or Treats with the Hilbert Matrix (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1983. — Vol. 90, no. 5. — P. 301—312. — doi:10.2307/2975779.
  • Todd, John. The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix (англ.) // National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series : journal. — 1954. — Vol. 39. — P. 109—116.
  • Wilf, H. S. Finite Sections of Some Classical Inequalities (англ.). — Heidelberg: Springer, 1970. — ISBN 3-540-04809-X.