Матрица Тёплица

Матрица Тёплица (диагонально-постоянная матрица) — матрица, в которой на всех диагоналях, параллельных главной, стоят равные элементы:

$A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}$,

то есть выполняется соотношение:

$a_{i,\,j}=a_{i-1,\,j-1}$.

Названы в честь немецкого математика Отто Тёплица.

Пример

Матрица 4×5:

$M={\begin{pmatrix}4&5&6&7&8\\3&4&5&6&7\\2&3&4&5&6\\1&2&3&4&5\\\end{pmatrix}}$

Свойства

Две матрицы Тёплица можно сложить за $O(n)$ операций. Матрицу Тёплица можно умножить на вектор за $O(n\log n)$ операций, а умножение матриц Тёплица можно провести за $O(n^{2})$ операций.

Тёплицева система линейных уравнений, то есть система вида $Ax=b$, где $A$ — тёплицева матрица, может быть решена методом Левинсона за время $O(n^{2})$.

Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье: оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, можно представить такой матрицей.

См. также

• Циркулянт
• Ганкелева матрица

Ссылки

• Тыртышников Е. Е. Теплицевы матрицы, некоторые их аналоги и приложения / ответственный редактор чл.-корр. СССР В. В. Воеводин. — М.: ВИНИТИ, 1989. — 184 с. — 150 экз. Архивная копия от 26 августа 2017 на Wayback Machine

• Robert M. Gray. Toeplitz and Circulant Matrices: A Review. — California, USA: nowpublishers.com, 2000. — 98 с.

• Бабенко, К. И. О теплицевых и ганкелевых матрицах // Успехи математических наук. — 1986. — Т. 41, № 1(247). — С. 171—178.

• Иохвидов И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы : Алгебраич. теория. — М.: Наука, 1974. — 263 с.

• Пустыльников Л. Д. Тёплицевы и ганкелевы матрицы и их применения // Успехи математических наук. — 1984. — Т. 39, № 4(238). — С. 53—84.