Открыть главное меню

Многочлен Бернштейна

В вычислительной математике многочлены Бернштейна — это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна.[1][2]

Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм де Кастельжо.

Многочлены в форме Бернштейна были описаны Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году и использованы им в конструктивном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. С развитием компьютерной графики, полиномы Бернштейна на промежутке x ∈ [0, 1] стали играть важную роль при построении кривых Безье.

ОпределениеПравить

(n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле

 

где  биномиальный коэффициент.

Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства   многочленов степени n.

Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна

 

называется многочленом Бернштейна или точнее многочленом в форме Бернштейна степени n. Коэффициенты   называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье.

ПримерыПравить

Вот некоторые базисные полиномы Бернштейна:

 
 
 
 
 
 

СвойстваПравить

Дифференцирование

 

 

Леммы о моментах

  для любых n и x, так как  

  для любых n и x

  для любых n и x

Аппроксимация непрерывных функцийПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М., 1952. — Т. 1. — С. 105-106.
  2. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М., 1954. — Т. 3. — С. 310-348.