Модель Дебая

В термодинамике и физике твёрдого тела модель Дебая — метод, развитый Дебаем в 1912 г. для оценки фононного вклада в теплоёмкость твёрдых тел. Модель Дебая рассматривает колебания кристаллической решётки как газ квазичастиц — фононов. Эта модель правильно предсказывает теплоёмкость при низких температурах, которая, согласно закону Дебая, пропорциональна . В пределе высоких температур молярная теплоёмкость, согласно закону Дюлонга — Пти, стремится к , где универсальная газовая постоянная.

Дебай при построении своей теории принял следующие предположения:[1]

  1. Твёрдое тело представляет собой непрерывную среду.
  2. Эта среда упруго изотропна.
  3. В среде отсутствует дисперсия.
  4. Упругие свойства среды не зависят от температуры.

При тепловом равновесии энергия набора осцилляторов с различными частотами равна сумме их энергий:

где — число мод нормальных колебаний на единицу длины интервала частот, — количество осцилляторов в твёрдом теле, колеблющихся с частотой .

Функция плотности в трёхмерном случае имеет вид:

где — объём твёрдого тела, — скорость звука в нём.

Значение квантовых чисел вычисляются по формуле Планка:

Тогда энергия запишется в виде:

где температура Дебая, — число атомов в твёрдом теле, постоянная Больцмана.

Дифференцируя внутреннюю энергию по температуре, получим:

Молярная теплоёмкость твёрдого тела в теории ДебаяПравить

В модели Дебая учтено, что теплоёмкость твёрдого тела — это параметр равновесного состояния термодинамической системы. Поэтому волны, возбуждаемые в твёрдом теле элементарными осцилляторами, не могут переносить энергию. То есть они являются стоячими волнами. Если твёрдое тело выбрать в виде прямоугольного параллелепипеда с рёбрами  ,  ,  , то условия существования стоячих волн можно записать в виде:

 

где   — целые числа.

Перейдём к пространству, построенному на волновых векторах. Поскольку  , то

 

Таким образом, в твёрдом теле могут существовать осцилляторы, с частотами, изменяющимися дискретно. Одному осциллятору в  -пространстве соответствует ячейка с объёмом

 

где

 

В  -пространстве осцилляторам с частотами в интервале   соответствует один октант сферического слоя с объёмом

 

В этом объёме количество осцилляторов равно

 

Учтём, что каждый осциллятор генерирует 3 волны: 2 поперечные и одну продольную. При этом  .

Найдём внутреннюю энергию одного моля твёрдого тела. Для этого запишем взаимосвязь между волновым числом, скоростью распространения волн и частотой:

 

 

Колебания в твёрдом теле ограничены максимальным значением частоты  . Определим граничную частоту из условия:

 

 

Отсюда внутренняя энергия одного моля:

 

где   — средняя энергия квантового осциллятора (см. модель теплоёмкости Эйнштейна),

  — постоянная Больцмана,

  — число Авогадро.

В последнем выражении сделаем следующую замену переменных:

 ;  ;  ;  

  — температура Дебая.

Теперь для   получим

 

 

Наконец, для молярной теплоёмкости получаем

 

Легко проверить, что при условии   теплоёмкость  , а при условии   теплоёмкость  

Интеграл   может быть взят методами теории функций комплексной переменной или с использованием дзета-функции Римана. Таким образом, теория Дебая соответствует результатам экспериментов.

ПримечанияПравить

  1. Блатт Ф. Физика электронной проводимости в твёрдых телах. — М., Мир, 1971. — c. 64

ЛитератураПравить