Модель Крамера — Лундберга

Модель Крамера — Лундберга — математическая модель, позволяющая оценивать риски разорения страховой компании. Частный случай модели Спарре — Андерсена, в которой процесс восстановления является пуассоновским. В рамках данной модели предполагается, что страховые взносы поступают равномерно, со скоростью $a$ условных денежных единиц за единицу времени, то есть $a>0$ — размер страховой премии. Модель позволяет определить размер страховой премии, необходимой для не разорения компании.

Обозначения

Модель страхования заключается в описании случайного процесса $Y_{t}$, характеризующего капитал компании в момент времени $t$.

Модель выглядит так:

$Y_{t}=y_{0}+at-\sum _{k=1}^{N_{t}}\eta _{k},$ где

$Y_{t}$ — капитал компании в момент времени $t$,

$y_{0}$ — стартовый капитал, $y_{0}>0$,

$a$ – скорость поступления страховых взносов,

$N_{t}$ — количество страховых исков от начала до момента времени $t$,

$\eta _{k}$— сумма выплат по $k$-му страховому случаю, выплата происходит в момент времени $T_{k}$.

Cлучайный процесс $N_{t}$ разумно задать как пуассоновский процесс интенсивности $\lambda >0$. В таком случае модель называется моделью Крамера — Лундберга. Это связано с тем, что страховые случаи не связаны друг с другом, поэтому случайная величина, равная промежутку времени между двумя страховыми случаями, будет иметь экспоненциальное распределение (так как у этого распределения есть свойство "отсутствия памяти"). Чтобы перейти от промежутков между страховыми выплатами к случайному процессу, зависящему от времени $t$, будем рассматривать процесс восстановления:

$\{\xi _{1},\dots ,\xi _{n}\}$ – независимые случайные величины, имеющие распределение $\mathrm {Exp} (\lambda )$ (промежутки времени между страховыми случаями),

$S_{0}=0,S_{n}=\xi _{1}+\dots +\xi _{n}$,

$N_{t}=\sup\{n:S_{n}\leqslant t\},t\geqslant 0$.

Этот процесс восстановления есть явная конструкция пуассоновского процесса. Таким образом задание $N_{t}$ обосновано.

Компания считается разорившейся, если $Y_{t}\leqslant 0$. Пусть $\mathrm {T} =\inf\{t\geqslant 0:Y_{t}\leqslant 0\}$ — первый момент времени, когда капитал компании становится нулевым или отрицательным. Наша задача найти вероятность разорения: $\mathrm {P} (T<\infty )$.

Математические выкладки

1. Из свойств пуассоновского процесса получаем распределение количества выплат для каждого момента времени $t$:

$\mathrm {P} (N_{t}=k)=e^{-\lambda t}{\dfrac {(\lambda t)^{k}}{k!}}$.

2. Предположим что размер выплат $\eta _{k}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины с $\mathrm {E} \eta _{1}=\mu$.

$\mathrm {E} (X_{t}-X_{0})=\mathrm {E} X_{t}-\mathrm {E} X_{0}=(y_{0}+at-\mathrm {E} \sum _{k}\eta _{k}\mathbf {I} (T_{k}\leqslant t))-(y_{0}+0-0)=$

$=at-\sum _{k}\mathrm {E} \eta _{k}\mathbf {I} (T_{k}\leqslant t)=$

$=at-\sum _{k}\mathrm {E} \eta _{k}\mathrm {E} \mathbf {I} (T_{k}\leqslant t)=$

$=at-\mathrm {E} \eta _{k}\sum _{k}\mathrm {E} \mathbf {I} (T_{k}\leqslant t)=$

$=at-\mu \sum _{k}\mathrm {P} (T_{k}\leqslant t)=$

$=at-\mu \sum _{k}\mathrm {P} (N_{t}\geqslant k)=$

$=at-\mu \mathrm {E} N_{t}=t(a-\mu \lambda ).$

Отсюда получаем условие, состоящее в том, что компания (в среднем) работает с положительной прибылью (то есть $\mathrm {E} (X_{t}-X_{0})>0$), когда

$a>\mu \lambda$.

Смысл этого выражения такой: для положительной прибыли (в среднем) страховой взнос должен быть больше, чем средняя выплата в случае страхового случая, умноженная на величину, обратную среднему времени между двумя страховыми случаями.

Выводы модели

С помощью статистических или иных методов, страховая компания должна вычислить средний размер одной страховой выплаты, а также вероятность наступления страхового случая. Размер страховой премии должен быть установлен на уровне не меньшем, чем произведение $\lambda$ (вероятность предъявления страхового иска за единицу времени) и средней стоимости страхового иска $\mu$. В таком случае, вероятность того, что страховая компания не разорится будет ненулевая.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность-2. — М.: МЦНМО, 2011. — 416 с.
• Муромская А. А. Оценка вероятности разорения акционерной страховой компании в рамках модели риска Спарре-Андерсена. — М.: МГУ им. Ломоносова.