Неархимедова геометрия

Неархимедова геометрия — совокупность геометрических предложений, вытекающих из систематических групп аксиом: инцидентности, порядка, конгруэнтности и параллельности системы аксиоматики Гильберта евклидовой геометрии, и не связанных с аксиомами непрерывности (с аксиомами Архимеда и полноты). В узком смысле неархимедова геометрия описывает геометрические свойства прямой, на которой не верна аксиома Архимеда (неархимедова прямая). Для исследования геометрических соотношений в неархимедовой геометрии вводится исчисление отрезков — неархимедова числовая система, рассматриваемая как специальная комплексная числовая система. Определяются понятия отрезка, отношения отрезков, сложение и умножение отрезков. В частности, вводится дезаргова числовая система — неархимедова система, в которой умножение отрезков некоммутативно. С помощью этих числовых систем в неархимедовой геометрии строится теория подобия фигур, теория площадей и т. д.

Свойства

Теория площадей многоугольников, лежащая в основе теории измерения площадей фигур на неархимедовой плоскости, опирается на понятие равновеликости многоугольников по дополнению, которое в неархимедовой геометрии является более общим по отношению к понятию равносоставленности (равновеликости по разложению на пары конгруэнтных треугольников).

В неархимедовой геометрии существуют треугольники, имеющие соответственно равные меры высот и оснований, равновеликие по дополнению, но не равносоставленные. Равновеликие по дополнению многоугольники в неархимедовой геометрии имеют одинаковую площадь, и два многоугольника с одинаковой мерой площади всегда равновелики по дополнению. Для прямоугольных треугольников в неархимедовой геометрии справедлива теорема Пифагора.

С помощью исчисления отрезков в неархимедовом пространстве вводится система аффинных (или проективных) координат. Например, на плоскости выбираются две прямые — оси координат, проходящие через фиксированную точку, на каждой из осей отмечаются единичные отрезки. В этой системе аффинных координат уравнение прямой является линейным, то есть имеет вид

$ax+by+c=0$,

где $x$, $y$ — координаты точек на прямой, $a$, $b$, $c$ — фиксированные числа (отрезки), причем умножение фиксированных отрезков на отрезки $x$ и $y$ производится всегда слева, и, вообще говоря, уравнение

$xa+yb+c$

в этой системе координат не представляет прямую.

Система геометрических предложений, составляющих неархимедову геометрию, может быть реализована на модели из конечного набора основных объектов: «точек», «прямых» и т. д. (здесь на каждой «прямой» не предполагается существование бесконечного множества «точек»). Построение числовых моделей неархимедовой геометрии приводит к так называемым трансфинитным (неархимедовым) пространствам Гильберта. Такое числовое пространство на прямой называется линейным пространством Веронезе.

Применения

Значение неархимедовой геометрии определяется её ролью в исследовании независимости и непротиворечивости системы аксиоматики Гильберта евклидова пространства. Реализация на числовой модели групп аксиом инцидентности, порядка, конгруэнтности и параллельности доказывает как их независимость от аксиом полноты, так и непротиворечивость самой неархимедовой геометрии. С другой стороны, выясняется и роль аксиом непрерывности в построении евклидовой геометрии на основе аксиом Гильберта. В частности, без аксиом непрерывности невозможно доказать эквивалентность евклидовой аксиомы параллельности предложению о равенстве суммы внутренних углов любого треугольника двум прямым углам.

Числовая реализация неархимедовой геометрии, в которой коммутативный закон умножения не является необходимым, играет также важную роль в построении непаскалевой геометрии (см. также Недезаргова геометрия).

См. также

• Неевклидова геометрия
• Недезаргова геометрия

Литература

• Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.—Л., 1948.