Неравенство Бернштейна (математический анализ)

Неравенство Бернштейна связывает норму производной многочлена с нормой самого многочлена.

Формулировка

Пусть $f_{n}$ — вещественнозначный тригонометрический многочлен степени $n$ , тогда:

\|f_{n}'\|_{\infty }\leqslant n\cdot \|f_{n}\|_{\infty }

.

Неравенство с константой $2n$ было установлено российским математиком Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году.
Уточнение было получено Эдмундом Ландау, он доказал неравенство с оптимальной константой $n$ .
В 1914 году Марсель Рис перенёс последнее неравенство на случай тригонометрических полиномов с произвольными комплексными коэффициентами.
А. Зигмунд в 1933 году перенес его на пространства $L^{p}$ при $p\geqslant 1$ :
$\|f_{n}'\|_{p}\leqslant n\|f_{n}\|_{p}$ .
В. В. Арестов в 1979 году доказал справедливость неравенства и при $0<p<1$ .
Кроме того, стали развиваться и так называемые неравенства Бернштейна для разных метрик вида

\|f_{n}'\|_{p}\leqslant C(n,p)\|f_{n}\|_{\infty }

.