Неравенство Бишопа — Громова

Неравенство Бишопа — Громова — теорема сравнения в римановой геометрии. Является ключевым утверждением в доказательстве теоремы Громова о компактности[1].

Неравенство названо в честь Ричарда Бишопа и Михаила Громова.

ФормулировкаПравить

Пусть   — полное n-мерное риманово многообразие с ограниченной снизу кривизной Риччи, то есть

 

для постоянной  .

Обозначим через   шар радиуса r вокруг точки p, определенный по отношению к римановой функции расстояния.

Пусть   обозначает n-мерное модельное пространство. То есть   — полное n-мерное односвязное пространство постоянной секционной кривизны  . Таким образом,

Тогда для любых   и   функция

 

не возрастает в интервале  .

ЗамечанияПравить

  • При   неравенство можно записать следующим образом
     
при  .
  • Если r стремится к нулю, то соотношение приближается к единице, так что вместе с монотонностью это означает, что
     
Эта версия впервые доказана Бишопом[2][3].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Введение в риманову геометрию 1991, с. 320, (22.5)
  2. Bishop, R. A relation between volume, mean curvature, and diameter. Amer. Math. Soc. Not. 10 (1963), p. 364.
  3. Bishop R.L., Crittenden R.J. Geometry of manifolds, Corollary 4, p. 256