В математике неравенство Шура, названное в честь математика Исая Шура , утверждает, что для произвольных неотрицательных действительных чисел
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
и
t
{\displaystyle t}
выполняется неравенство:
x
t
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
t
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
t
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
⩾
0
{\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-x)(y-z)+z^{t}(z-x)(z-y)\geqslant 0}
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда
x
=
y
=
z
{\displaystyle x=y=z}
или два числа среди них равны между собой, а третье равно нулю. Если
t
{\displaystyle t}
будет натуральным и чётным , то неравенство будет выполняться для всех действительных
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
.
Самым распространённым и известным применением неравенства является частный случай, когда
t
=
1
{\displaystyle t=1}
:
x
3
+
y
3
+
z
3
+
3
x
y
z
⩾
x
2
y
+
x
2
z
+
y
2
x
+
y
2
z
+
z
2
x
+
z
2
y
{\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geqslant x^{2}y+x^{2}z+y^{2}x+y^{2}z+z^{2}x+z^{2}y}
Поскольку неравенство симметрично относительно переменных
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
, то без ограничения общности можно считать, что
x
⩾
y
⩾
z
{\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}
. Тогда неравенство Шура становится равносильным следующему неравенству:
(
x
−
y
)
[
x
t
(
x
−
z
)
−
y
t
(
y
−
z
)
]
+
z
t
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
⩾
0
{\displaystyle (x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(z-x)(z-y)\geqslant 0}
которое выполняется потому, что
x
t
(
x
−
z
)
⩾
x
t
(
y
−
z
)
⩾
y
t
(
y
−
z
)
{\displaystyle x^{t}(x-z)\geqslant x^{t}(y-z)\geqslant y^{t}(y-z)}
. Также из этого рассуждения видно, что равенство возможно только при
x
=
y
=
z
{\displaystyle x=y=z}
или
x
=
y
{\displaystyle x=y}
и
z
=
0
{\displaystyle z=0}
. Учитывая симметричные данному варианты можно получить, что в исходном неравенстве равенство достигается тогда и только тогда, когда
x
=
y
=
z
{\displaystyle x=y=z}
или двое из чисел
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
равны между собой, а третье равно нулю, что и требовалось доказать.
Обобщением неравенства Шура является следующее неравенство: для всех действительных
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
и неотрицательных действительных
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
:
a
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
b
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
c
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
⩾
0
{\displaystyle a(x-y)(x-z)+b(y-x)(y-z)+c(z-x)(z-y)\geqslant 0}
если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
x
⩾
y
⩾
z
{\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}
и
a
⩾
b
{\displaystyle a\geqslant b}
x
⩾
y
⩾
z
{\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}
и
c
⩾
b
{\displaystyle c\geqslant b}
x
⩾
y
⩾
z
{\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}
и
a
+
c
⩾
b
{\displaystyle a+c\geqslant b}
x
⩾
y
⩾
z
⩾
0
{\displaystyle x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0}
и
a
x
⩾
b
y
{\displaystyle ax\geqslant by}
x
⩾
y
⩾
z
⩾
0
{\displaystyle x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0}
и
c
z
⩾
b
y
{\displaystyle cz\geqslant by}
x
⩾
y
⩾
z
⩾
0
{\displaystyle x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0}
и
a
x
+
c
z
⩾
b
y
{\displaystyle ax+cz\geqslant by}
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
- стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
- квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
a
x
,
b
y
,
c
z
{\displaystyle ax,by,cz}
- стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
a
x
,
b
y
,
c
z
{\displaystyle ax,by,cz}
- квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
Существует выпуклая или монотонная функция
f
:
I
⟶
R
+
{\displaystyle f:\mathbb {I} \longrightarrow \mathbb {R^{+}} }
, где
I
{\displaystyle \mathbb {I} }
- это интервал , который содержит числа
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
,
z
{\displaystyle z}
, причём
a
=
f
(
x
)
{\displaystyle a=f(x)}
,
b
=
f
(
y
)
{\displaystyle b=f(y)}
,
c
=
f
(
z
)
{\displaystyle c=f(z)}
Другое возможное обобщение утверждает, что если неотрицательные действительные числа
x
≥
y
≥
z
≥
v
{\displaystyle x\geq y\geq z\geq v}
и положительное действительное число
t
{\displaystyle t}
таковы, что
x
+
v
≥
y
+
z
{\displaystyle x+v\geq y+z}
, то[1] :
x
t
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
(
x
−
v
)
+
y
t
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
(
y
−
v
)
+
z
t
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
(
z
−
v
)
+
v
t
(
v
−
x
)
(
v
−
y
)
(
v
−
z
)
≥
0.
{\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)(x-v)+y^{t}(y-x)(y-z)(y-v)+z^{t}(z-x)(z-y)(z-v)+v^{t}(v-x)(v-y)(v-z)\geq 0.}