В математике неравенство Шура, названное в честь математика Исая Шура, утверждает, что для произвольных неотрицательных действительных чисел и выполняется неравенство:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда или два числа среди них равны между собой, а третье равно нулю. Если будет натуральным и чётным, то неравенство будет выполняться для всех действительных .

Самым распространённым и известным применением неравенства является частный случай, когда :

Доказательство

править

Поскольку неравенство симметрично относительно переменных  , то без ограничения общности можно считать, что  . Тогда неравенство Шура становится равносильным следующему неравенству:

 

которое выполняется потому, что  . Также из этого рассуждения видно, что равенство возможно только при   или   и  . Учитывая симметричные данному варианты можно получить, что в исходном неравенстве равенство достигается тогда и только тогда, когда   или двое из чисел   равны между собой, а третье равно нулю, что и требовалось доказать.

Обобщения

править

Обобщением неравенства Шура является следующее неравенство: для всех действительных   и неотрицательных действительных  :

 

если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

  •   и  
  •   и  
  •   и  
  •   и  
  •   и  
  •   и  
  •   - стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
  •   - квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
  •   - стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
  •   - квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
  • Существует выпуклая или монотонная функция   , где  - это интервал, который содержит числа  ,  ,  , причём  ,  ,  

Другое возможное обобщение утверждает, что если неотрицательные действительные числа   и положительное действительное число   таковы, что  , то[1]:

 

Примечания

править
  1. Finta, Béla (2015). "A Schur Type Inequality for Five Variables". Procedia Technology. 19: 799—801. doi:10.1016/j.protcy.2015.02.114.