Обсуждение:Тензор

Untitled

Складывается впечатление, что авторы упиваются своим узким профессионализмом в области тензорных исчислений и не понимают, что могли бы принести большую пользу любознательным людям, например, с музыкальным, медицинским, историческим образованием, но желающим понять в наиболее популярной форме сущность того, чем оперируют лица с дипломами о механико-математическом образовании. Но, видимо, некоторым математикам приятно пребывать в тоге жреца, обладающего "потусторонней" информацией, тешить себя иллюзиями особой посвященности. На самом деле, когда зачитываешь в студенческой нематематической среде существующие определения тензора и тензорным уравнениям, то, пока, у всех возникает ощущение, что писали сие или шарлатаны, или графоманы, или лица плохо знакомые с русским языком, но только не люди, сколь-нибудь знакомые с законами педагогики.

не знаю с чем вы там знакомы - да есть некоторая трудность в восприятии, но эта цена за входной билет которую нужно заплатить коли не готовы - не надо вам это знать. и вы поймите меня правильно чмарить кого-то что он чего-то не знает я не собираюсь. просто я же не спращиваю врача как вьехать в достоточно сложную органическую реакцию, при том что неорганику с трудом понимаю. кстати сам в МАИ учился на третьем факе - нам такого не обяснили, но зато достаточно неплохо понимаешь что можно делать с матрицей, а дальше как горится было бы желение. забыл написать почему меня это заитересовало ОТО мне не читали может на физмате читают - нам только СТО. Уравнения Эйнштейна

Проблема в том, что дать популярное определение тензора, ну, наверное, не невозможно, но очень трудно. Я его не знаю, и сам сформулировать не могу. Если можете, то, пожалуйста, напишите. --Melirius 16:38, 15 августа 2007 (UTC)

В сущности, для начала надо 1) добавить примеры (если найдутся умные и доступные примеры чего-то, что похоже на тензор, но тензором не является - то их тоже), 2) добавить геометрических (в доступном нематематикам смысле этого слова), т.е. образных представлений. Сергей Сашов 78.37.23.234 04:13, 25 января 2008 (UTC)

Статья тоже мои надежды не оправдала :( Я не математик и не физик. Просто крутится давно в голове это слово, решил посмотреть что это такое. До прочтения у меня было впечатление что тензор это набор векторов (если наглядно то несколько стрелок, выходящих из одной точки). После прочтения статьи с таким же впечатлением и остался. Было бы неплохо добавить главу "популярное определение". Indeo 08:33, 11 июля 2009 (UTC)

• В каком-то смысле Вы правы. Правда, это скорее не просто набор векоров, а набор таких наборов, некоторая линейная комбинация… Об этом говорится в статье Диада. Можно этот процесс продолжить и дальше, на более чем 2хиндексные тензоры, но это уже неудобно. Кроме того, это адекватно лишь для валентностей (p,0). Дать наглядное геометрическое определение произвольного тензора едва ли возможно. Например, элементарный пример тензора — преобразование линейного пространства (валентность (1,1)). Ясно, что это что-то «инвариантное», не зависящее от выбора конкретных базисов, но как представить его геометрически? Можно представить себе, скажем, деформированный квадрат (параллелограм), но алгебраические операции над тензорами от этого едва ли понятнее. --Мышонок 21:21, 12 июля 2009 (UTC)

Матрицы Якоби

Насколько я помню, матрицы Якоби также представляют собой тензоры, а именно - единичный тензор в своеобразном представлении, когда один его индекс отностися к одному базису, а второй - к другому. Tosha, выскажитесь, пожалуйста. --Melirius 14:03, 7 августа 2008 (UTC)

Я не спец по терминологии. Как и про любую матрицу, про матрицу Якоби можно думать как про элемент тензорного произведения двух линейных пространств, но я не слышал чтоб термин тензор употреблялся к по отношению к элементам этого пространства... --Тоша 20:08, 7 августа 2008 (UTC)

Собственно проблема в том, что эти линейные пространства не совпадают (хотя и изоморфны в большинстве случаев), а поэтому формально такая вещь тензором не является. Для элементов тензорного произведения я слышал понятие n-вектор... halyavin 06:38, 8 августа 2008 (UTC)

Нет, n-вектор --- это эелемнт ис внешней стрпени пр-ва. --Тоша 20:28, 10 августа 2008 (UTC)

Происхождение термина

Термин Те́нзор (от лат. tensus, «напряженный»), ввел немецкий ученый Фойгт

Литература

• Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001;

94.25.14.50 11:10, 17 марта 2010 (UTC) nastvood

Определений тензора как минимум 3 штуки - через замены переменных, через абстрактное тензорное произведение и через полилинейные функции. halyavin 07:40, 20 июля 2010 (UTC)

Размерность векторного пространства

«где d — размерность векторного пространства» — не должно ли быть d в степени n? --Серёга ? 21:10, 3 июня 2011 (UTC)

Нет, с чего бы? --Мышонок 10:42, 4 июня 2011 (UTC)

Матрица размера m*n, как частный случай - размерность пространства m*n --Серёга ? 14:51, 4 июня 2011 (UTC)

Введение

   "Часто тензор представляют как многомерную таблицу , заполненную числами — компонентами тензора..."

   Понятно, что язык мешает математике, но не настолько же...
   Согласно старой доброй Линейной Алгебре между таблицей (матрицей) и оператором (тензором)
устанавливается взаимно однозначное соответствие. Т.е. они аналоги друг друга, но каждый в своем
линейном пространстве. При смене базиса, сменится отображение. Именно по-этому матрицу обозначают той
же буквой и допускается называть тензором (правда, рекомендуют не путать). При самостоятельном
рассмотрении матрица и будет тензором, так же как вектор-строка вектором в линейном пространстве 
упорядоченных наборов n чисел(n-мерное координатное пространство). И компонентами этого вектора будут
векторы базиса (единичные вектор-строки типа 010000...) умноженные на координатное число(координату), а
компонентами матрицы будут матрицы в том линейном пространстве, где матрица сама - вектор (как не 
крути, а элементы линейного пространства - векторы).
  Т.е. компоненты эт-то скажу я вам, векторы, тензоры, но не числа. И мне кажется, Автор об этом 
догадался в самом конце:

  "...связанных каждое с одной из этих осей (называемых собственными числами или собственными 
значениями тензора), предназначенных для умножения на них соответствующих компонент вектора, чтобы 
получить компоненты вектора нового."

  И еще нюанс для заморачивания:

  "... вектора, являющегося частным видом тензора..."
  Это уже не вина Автора, а проблема языка.
  Если учесть, что тензор в пространстве тензоров одинаковой валентности просто вектор...
  Тогда зубило тот же молоток, только меньше. 

  Далее Автор настойчиво применяет термин компоненты к координатам и, как сказал бы Полиграф   
Полиграфыч-
  Да не согласен я...Да что тут предлагать?.. А то пишут, пишут… Конгресс, немцы какие-то… Голова
пухнет.
  Нет, есть еще два перла:

  "...тензор = массив компонент + закон преобразования компонент при замене базиса"
  -не самая удачная трактовка классического определения,
  и,
  "...Прежде всего к тензорам не относятся сами матрицы (матрицы Якоби) преобразования координат,
являющегося частным случаем диффеоморфизма между двумя многообразиями, с помощью которых и вводится
классическое определение тензора, хотя по многим своим свойствам они напоминают тензор..."
  
  Нет уж, лучше здатся...В целом статья информативная, 
                            Автора ! Автора ! 
                                          не забить бы, спросить, к чему тут еще и список
                                                                                        литературы
                                         Давид Николаевский 95.132.151.101 22:49, 16 мая 2013 (UTC)nicdavid2@gmail.com

Не раскрыта тема "Ранги"

Упоминаются тензоры второго ранга. Другие ранги бывают? И что вообще определят ранг тензора? ink 09:29, 23 ноября 2013 (UTC)

Да, есть такая проблема. Например говорят тензор 3-го ранга. Объяснения не было, добавил. --Сухопаров Станислав (обс) 20:56, 6 октября 2014 (UTC)

Примеры

А точно нет путаницы в примерах? Если следовать определению тензора (n,m) как элемента векторного произведения n линейных пространств и m сопряжённых пространств, то вектор (контравариантный) должен относиться к типу (1,0) как элемент самого линейного пространства. Ковектор же является функционалом, действующим на линейном пространстве, т.е. элементом сопряжённого пространства. Значит, это тензор (0,1).

Вот когда тензор определяется как полилинейное отображение, то тогда там, условно говоря, роль пространства и сопряжённого пространства меняется местами, так как ковариантный тензор действует на самом линейном пространстве, а контравариантный - на сопряжённом ему. При использовании такой терминологии и тип тензора иногда обозначается иначе.--Schlauen 12:35, 22 февраля 2015 (UTC)

Нет иллюстрации к разделу

Длину шариковой ручки можно взять в качестве примера тензора нулевого ранга (см. рис.)

Какой рис.? Нужно найти или удалить пояснение в скобочках.

• Рисунок был удален: commons:User talk:Coobit#File:Aid100079-v4-900px-Use-a-Ruler-Step-14.jpg. Удалил пояснение в скобках. — Алексей Копылов 06:13, 19 января 2020 (UTC)

Пример длины ручки, как тензора валентности 0

В одном из примеров написано, что длина ручки - это тензор ранга 0, скаляр. А дальше написано, что в одной системе единиц ее значение это одно число, а в другой - другое, и приведен закон преобразования - отношение этих чисел (длин в см и дюймах) константа ( т.е. закон y=C*x, где x и y - численное значение длины в разных системах единиц) Это полнейший бред: если это скаляр, то почему он меняется при изменении базиса, в примере именно это же показывают? Такое ощущение, что это писал малограмотный физик, у которого в голове перемешались скаляры из физики с их размерностью и материалы из линала. Если и приводить такой пример, то это будет не скаляр, а вектор в одномерном векторном пространстве длин, где в качестве базисов берутся вектора 1см, 1м=100*1см, и тп. И тогда там будет приведенный закон преобразования координаты x=C*x’ и все ок. Только пример вообще не уместен, очень много понятий с одинаковыми названиями из физики и математики пересекается, если говорить о длине 1см и тп, математик сразу подумает о том, что это евклидово пространство и так далее, физик же думает о размерности см, для математика размерность - это вообще другое.

Я не опытный пользователь Википедии, не стал ничего менять, удалять. Но прошу тех, кто занимается редактированием статей, поправьте это. Или слелайте, чтобы все это было математически корректно, или удалите.

Видимо, автор примера хотел пример на пальцах для физиков, а получилась абсолютно некорректная конструкция Fraik rus (обс.) 01:28, 13 апреля 2020 (UTC)

Upd. Похожий невнятный бред и про тензор ранга 1. Fraik rus (обс.) 01:37, 13 апреля 2020 (UTC)

176.59.40.128 @Fraik rus, Напишите, пожалуйста, текст к примерам, и я его заменю за вас.

Я поменял первый пример, на стандартный, часто встречающийся во многих учебниках. С точки зрения математики теперь все корректно, с точки зрения оформления статьи, читабельности, надеюсь - тоже, но если что, призываю всех к обсуждению/редактированию. До второго примера доберусь чуть позже. Fraik rus (обс.) 20:02, 14 апреля 2020 (UTC)

Да, еще хочу извиниться за негатив в адрес автора старого примера. Fraik rus (обс.) 21:31, 14 апреля 2020 (UTC)

Я автор тех маловерных примеров... Извинения приняты, но я и не особо обижался, ведь самый лучший способ побудить знатоков что-то написать в интернете -- это написать самому, но с ошибками. Тапки не заставят себя долго ждать и полетят со всех сторон. :) Тут самое главное поймать бросающего на его слове, чтобы перевести его гнев в полезное русло. Coobit (обс.) 20:00, 15 апреля 2020 (UTC)

Ещё к вам вопрос: В моём примере с ручкой я хотел донести, что именно сама ручка как физический объект -- это тензор. А её длины, выраженные в дюймах и см. - это лишь числа. Физическая длина не изменяется и поэтому физическое явление "длины" -- это тензор, только её значения в разных линейках изменяются. Так в примере с преобразование длин [y]=C*[x], числа [y] и [x] -- это не тензоры, это лишь его "координаты" на соответствующих линейках, поэтому они и меняются при преобразовании координат (изменении линейки), сама же ручка не меняется! В чём я был не прав? Просто ваш пример может и верен, но чёрт возьми, сложноват для начала статьи, его бы ниже вставить... Coobit (обс.) 20:07, 15 апреля 2020 (UTC)

Извиняюсь, что вам сразу не ответил, на днях подробно напишу Fraik rus (обс.) 23:54, 18 апреля 2020 (UTC)

Сама ручка -- это физический объект, она не является тензором, потому что у тензор -- это понятие из математики (а не физическое явление, объект и т.п.), у которого есть четкое определение (с этим в статье тоже проблема, сложно его найти). Если на пальцах, тензор -- это такой набор чисел, которые меняются в соответствии со специальным законом (зависящим от типа тензора) при изменении базиса векторного пространства (это не строго, это не определение, но смысл такой). С ручкой связаны некоторые тензоры, например, вектор из ее начала в конец -- это тензор типа (1, 0), а длина этого вектора - это скаляр. При этом, говоря о длинах, я подразумеваю, что это просто числа, сейчас мы не вдаваемся в подробности, что в физике, обычно все величины имеют размерность, об этом позже.

Про длины, линейки и размеры: да, к фиксированной длине, например, 1 см, можно относиться как к тензору. И, действительно, численное значение физ. величины изменяется, при изменении системы единиц, по закону, который вы привели, более того, это тензорный закон (правда, не для скаляра, а для вектора). Теперь рассмотрим более подробно, что тут происходит с точки зрения математики. У вас есть длина, она задается одним числом с размерностью (а не вектором, матрицей и тп), поэтому эта длина либо вектор (тензор типа (1, 0) или (0, 1)), либо элемент поля (над которым задано пространство) -- скаляр, но скаляром (в математическом смысле) она быть не может, т.к. она меняется, у вас получается, в описанном вами смысле длина - это вектор, в одномерном пространстве. Базисы в нем состоят из 1 вектора, например 1см, 1м, 1мм и тп. Координаты вектора длины - это численное значение в данной системе единиц, о преобразовании которого вы говорите. Если поменять базис (сменить систему единиц), координата вектора (численное значение длины) изменится, по тензорному закону для вектора в одномерном пространстве. Если это обернуть так - все будет корректно, вы привели пример тензора ранга (1, 0) в одномерном пространстве, иначе из этого математически корректную конструкцию не собрать. Только в заголовке, перед примером, было написано, что это -- пример скаляра, что является ошибкой, скаляры не меняются при изменении базиса, это просто элементы числового поля. В корректном изложении этот пример станет непонятным ни физику, ни математику.Fraik rus (обс.) 19:27, 21 апреля 2020 (UTC)

По поводу моего примера, я согласен, его можно было бы объяснить более просто, и если у кого-то есть предложения, как это сделать -- пишите. Но с другой стороны, я там использую самые основные понятия из линейной алгебры, гораздо более простые, чем понятие тензора, не зная которые, в тензоры лучше не лезть. Этот пример использует основные, элементарные, понятия, линейной алгебры. Я там добавил ссылок, по ним, кстати, более менее понятно, как стоит подходить к изучению тензоров -- сначала понять, что такое векторное пространство, потом узнать про базис, узнать какие-то общие вещи типа евклидовых пространств, сопряженных пространств, и лишь потом идти в тензоры. Можно было просто сказать: "длина вектора -- это скаляр, потому что она не зависит от выбора базиса, скаляр -- это тензор типа (0, 0)". И это будет корректно, я бы так и сделал, если бы это была не Википедия. Но тут, мы же стараемся сделать статье более полными и длинными, поэтому сделал небольшое "доказательство" очевидного факта - независимости длины вектора от выбора базиса (заодно, пусть, кто не знает, узнает, что такое длина вектора), накидал ссылок, которые необходимо и полезно почитать, чтобы понять о чем речь. С точки зрения простоты - это один из простейших примеров скаляра (проще только просто элемент поля, но тогда не понятно зачем тут линейное пространство и причем тут тензоры), все остальные корректные примеры из математики не проще, другой вопрос - как этот пример описать, если я сделал это плохо - буду рад, если вы поправите. Только сделайте это так, чтобы там не было ошибок математических. Статья на тему математики, поэтому важно, чтобы те, кто серьезно изучает математику, при прочтении, не узнавали чего-то неправильного. С другой стороны статья, кончено, должна быть читаемой и понятной как можно более широкому кругу людей. Как тут точно поймать баланс - я не знаю, но в одном уверен - математически все должно быть корректно, это же энциклопедия. Fraik rus (обс.) 19:52, 21 апреля 2020 (UTC)

@Coobit, еще по поводу примера тензора ранга 1 хочется сказать, и вообще статьи в целом. Вообще, я на Википедии не опытный пользователь, но когда увидел эту статью был небольшой математический шок. Тензор - это довольно важное понятие и про него ожидал увидеть хорошую четкую статью, как про многие другие понятия из математики. С точки зрения Википедии статья, наверное, хорошая, она большая, с нормальным оформлением, картинками и тп, наверное потратили много сил. Но с точки зрения математики и информативности - есть над чем работать. Тут перемешаны и всякие физические мотивы и понятия и математика, их надо четко разделять, по-хорошему, нужно сначала дать четкое определение из математики, примеры из математики, объяснения и тп, а потом, второй отдельной частью -- писать про применение и примеры тензоров в физике, как мне кажется. Второй момент -- нет четкого определения тензора: в разделе "определения" сначала идут какие-то общие слова про "геометрический объект", затем дана ссылка на "массив" - понятие из программирования, не имеющее никакого отношения к тензорам, потом, так и не определив, что такое "геометрический объект", идут какие-то общие слова про векторы, но определения тензора так и нет. Вообще, тензоры через геометрические объекты (это понятие не является общепринятым, про него даже нет статьи на Википедии) определяют на физфаке МГУ (где я учился до того, как перевелся на мехмат) и еще в паре мест, но там это делают для упрощения, чтобы не вводить тензорное произведение и сопряженное пространство, при этом хорошие преподаватели там еще и пред этим дают определение этого геом. объекта. Такой подход возможен, и заслуживает того, чтобы его описать в этой статье, но до нее дошли какие-то обрывки определений. Далее в подразделе "современное определение" идет нормальное более-менее четкое определение тензора, там бы убрать "вообще говоря", а написать "по определению...". Также, ниже не очень внятно объяснено про полилинейные отображения, через них тоже можно определить тензоры, получается изоморфная конструкция -- нужно как-то это оформить и подробнее объяснить, почему при использовании полилинейных функций и тензорного произведения пространств получается одна и та же конструкция, это очень важно. Вот именно этот небольшой кусок статьи, который сложно откопать, который очень маленький и не очень внятный, является самым важным, потому что в нем, наконец, написано, что такое тензор, нужно как-то на этом акцент сделать. По поводу примера тензора ранга 1 -- там, как и в первом примере, зачем-то притянуты рассуждения о размерности физических величин, которые не имеют прямого отношения к теме (хотя, кончено, их можно сюда притянуть, способом, похожим на описанный выше способ для скаляров), из этого примера важны сейчас только последние три строчки, что тензоры ранга 1 - это либо векторы, либо ковекторы. Про остальное - лучше заменить просто на пример вектора на плоскости, и посмотреть, как изменяются его координаты при выборе другого базиса (системы координат), добавить рисунки. Также стоит добавить пример ковектора -- линейного функционала, тут тоже есть стандартный, с помощью которого во всех учебниках строят изоморфизм между евклидовым пространством и сопряженным к нему, нужно взять фиксированный вектор, и каждому вектору из V ставить в соответствие скалярное произведение этого вектора и фиксированного. Можно также добавить рисунок, как меняется координата этого ковектора, при изменении базиса -- это сложнее. Я хочу заняться этой статьей, в частности, почти первым делом поменять пример тензора ранга 1, в остальном -- не знаю, на сколько времени хватит. Статья сейчас пугает, тут есть много важного и полезного, но все как-то вперемешку, есть какие-то неправильные почти философские обсуждения и отсутствие акцентов на важных определениях, и четких формулировок этих определений. Я не опытный пользователь Википедии, я боюсь делать значительных правок, боюсь начать "войну правок", поэтому Кубит -- буду рад, если мы как-то скооперируемся, и вместе поработаем. Я, хочется верить, разбираюсь в математике на нужном уровне,но на Википедии опыт маленький. Мне очень хочется привести эту статью в порядок, она важная, это первое место, куда идут студенты, после того, как на лекции не понимают, что такое тензор, сейчас она выглядит хорошо, но есть проблемы со стороны математики. Fraik rus (обс.) 20:41, 21 апреля 2020 (UTC)

Я тоже был удивлён качеству статьи, когда её впервые увидел. Она балы очень разрознена, как будто кто-то натаскал каких=-то шпаргалок с разных книжек. Но всё править я не смог, в статье правил только примеры (те, что почти без математики, ручка, скорость, ткань, амбиграмма). Всё что я пытался сделать, так это немного наметить "движение сложности" в статье: сверху вниз, простого к сложному, от общих слов к точным словам. Другими словами, я бы хотел видеть статью начинающуюся общими словами, и заканчивающуюся точными формулами. Собственно всю статью надо переделывать :) Но у меня мозгов на это просто не хватит, а других охотников статья не находит. Каждый делает, что может... Так вся вики и живёт. 94.25.170.249 21:14, 21 апреля 2020 (UTC)

А ваши объяснения моих заблуждения мне надо ещё пару раз перечитать... 94.25.170.249 21:14, 21 апреля 2020 (UTC)

В этой статье "война правок"?! Не будет такого, моя правка тут уже год висит и никто даже не почесался на меня хулу гнать! Так, что статья важная, но настолько малопопулярная, что никому не нужна кроме нас двоих :) Правьте, но не большими кусками, а чуть-чуть за один раз, и всё будет нормуль. 94.25.170.249 21:32, 21 апреля 2020 (UTC)

Я, готов к кооперации, но боюсь мой мат. аппарат слабоват будет. Моя линейная алгебра остановилась на сопряжённом операторе, а как только я видел главу "тензоры", то я быстро тупел и переставал читать. 94.25.170.249 21:32, 21 апреля 2020 (UTC)

Я лишь могу объяснить как я -- любопытствующий обыватель, видит эту статью, это может быть полезно. А вижу я её так: как обыватель хочу "пощупать тензор", перед тем как читать сухую математику. Иметь в голове "физический или геометрический" пример того объекта, что будет изучаться математически -- очень помогает в обучении, ведь если я знаю, что такое скорость, то мне легко понять почему он не меняется при смене координат (куча видео с примерами разных поворотов осей и т.д.). Но тензор 2-ого ранга и выше.... В этой статье ранее предлагали взять пьезоэлектрический тензор 4-ого ранга как самый простой общедоступный пример. Это меня просто взбесило! После этого мне хватило гнева, чтобы нарисовать картинку с "тканью" и написать пример с разрезами. Всё чтобы дать людям интуитивное понимание тензора до математического аппарата. Вот после этого "на ощупь\интуитивного понимания" тензора уже можно читать сухую математику и она очень легко ляжет на мозг. 94.25.170.249 21:32, 21 апреля 2020 (UTC)

Собираюсь поправить примеры тензоров валентности 1, у себя в черновике уже написал про вектор, добавил рисунок. Пытаюсь сделать акценты на нужном -- на том, что сами тензоры не меняются при переходе к новому базису, а их координаты -- меняются, для простоты добавил пример с объяснением, но как мне кажется, это только отвлечет внимание от важного и напугает неподготовленного читателя из-за чисел и вычислений, надеюсь картинка поможет. Осталось привести пример ковектора, как-то слишком объемно выходит. Fraik rus (обс.) 19:45, 22 апреля 2020 (UTC)

Посмотрел вашу правку по 1-ому рангу. Сделал малую правку в начале и разукрасил вектора. У вас есть такая строчка (жирным моя приписка):

Теперь введем новый базис $\color {blue}f_{1}$, $\color {blue}f_{2}$, получаемый из первого поворотом на $45^{\circ }$ в положительном направлении. Тогда координаты векторов $\color {blue}f_{1}$, $\color {blue}f_{2}$ выраженные через старый базис будут иметь такие значения: ${\color {blue}f_{1}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$, ${\color {blue}f_{2}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$.

запись ${\color {blue}f_{1}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$ не объяснена. Откуда эти числа взялись? Для человека понимающего всё ясно, но для начинающего -- сложно. В этой формуле вектора как будто приравниваются к координатам... ИМХО. Coobit (обс.) 10:43, 23 апреля 2020 (UTC)

но как мне кажется, это только отвлечет внимание от важного и напугает неподготовленного читателя из-за чисел и вычислений. Именно поэтому я давал примеры "на пальцах" без математики: ручка, скорость машины, напряжение ткани, а подробности можно в отдельную секцию, типа, "примеры с математикой". Coobit (обс.) 10:45, 23 апреля 2020 (UTC)

откуда взялась такая запись — вектора $f_{i}$ — элементы пространства $\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$, элементами этого пространства являются пары чисел (арифметические векторы) — столбцы либо строки, это там четко написано. И да, в стандартном базисе векторы и столбцы координат равны друг другу, на то он и стандартный базис. В стандартном базисе $\mathbb {R} ^{2}$ векторы совпадают со столбцами своих координат. Конечно, для абстрактного векторного пространства, нам не важна природа вектора, и мы работаем только с координатами, при этом сам вектор может быть, например, матрицей, функцией, тензором, и тп. Но в данном пример, для простоты, используется одно из простейших пространств — $\mathbb {R} ^{2}$.

Координаты вектора - это числа, если уже и сделали правку, то почему вы пишите "координаты векторов ... ~в старом базисе равны~" и далее идут столбцы? Тогда это не координаты, а столбцы координат — да, это будет так. Но если так писать — тогда надо в левой части равенств писать не векторы $f_{1},\;f_{2}$, а столбцы из координат, например так: ${\begin{pmatrix}c_{1}^{1}\\c_{1}^{2}\end{pmatrix}}=\dots ,\;{\begin{pmatrix}c_{2}^{1}\\c_{2}^{2}\end{pmatrix}}=\dots$ но это только усложнит запись, от этого не становится понятнее. Поэтому я просто написал, чему равны векторы нового базиса. Вообще тут надо четко различать, что есть что: пространство — $\mathbb {R} ^{2}$, векторы в нем — столбцы вида ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$, координаты векторов в нек. базисе — это числа $x^{1},\,x^{2}$, столбцы координат — это столбцы вида ${\begin{pmatrix}x^{2}\\x^{2}\end{pmatrix}}$. По поводу "откуда такие числа взялись" — там ссылка на статью "поворот", я мог написать про синусы, косинусы, как оно выводится, это все элементарно, но объемно, и только отвлечет от важного, в статье про поворот оно есть. Если это не понятно, то, Бог с ним, пусть человек считает, что мы по определению такие векторы взяли. По поводу разукрашивания — меня оно только сбивает, формулы начинают глаза резать, вроде на рисунке все обозначено, в начале просто сделал пару отсылок к нему, чтобы было понятно, что он есть, и что, если что, на него стоит посмотреть. Но может, оно так нагляднее, с цветами, не знаю, в общем, ладно.

Да, в этом сложность: если всё с самого начала всё точно писать, то нужно сразу разделить "вектора-геометрические", "вектора-столбцы чисел", "координаты-скаляры", но для этого надо объяснить систему кодирования этих объектов на письме [] () и т.д. а чтобы это сделать нужно оооооочень много текста, что вначале статьи писать нехорошо. Coobit (обс.) 16:07, 23 апреля 2020 (UTC)

По поводу вычислений в примерах — мне тоже они не нравятся, я бы просто вывел закон преобразования координат вектора, написал теорию про ковекторы, и на этом бы остановился, без всяких единиц, двоек и корней... Правда, тогда будет слишком сухо и абстрактно. Я их добавил как раз, чтобы это можно было пощупать, как меняются координаты у конкретного вектора, чтобы было наглядно, и чтобы можно было нарисовать рисунок. Это как у многих студентов — дают им абстрактное определение — они не понимают, приводят пример в числах — становится понятнее. Вот эти примеры — это простейшие тензоры, я тут все, в плане обозначений, четко написал, на них люди могут познакомиться с координатами тензора, с простейшими законами их преобразования. Без математики привести пример такого математического объекта, практически, не возможно, в лучшем случае получатся какие-то философские рассуждения, из которых ничего не существенного не будет понятно, кроме того, может создастся иллюзия понимания. Примеры тензоров 1 ранга в физике — это те же векторы, от этого не становится проще, кроме того, появляется дополнительная структура, которую еще надо переварить, а что такое вектор — понимать в любом случае приходится, без этого никуда. Можно взять вектора скорости, перемещения, да хоть 4-вектор потенциала электромагнитного поля — проще не будет, как мне кажется. Да и многие читающие статью — математики, программисты, они просто не знают этих терминов из физики, оно им не надо, а тензоры им нужны. В этом примере я изложил простейшие вещи, которые просто необходимо знать, чтобы понять что такое тензор, увы, не понимая, что такое сопряженное пространство, сопряженный базис, закон преобразования координат, понять и осознать, что такое тензор невозможно. Максимум, что возможно — восприятие на уровне многомерная табличка с меняющимися чиселками.

По поводу примеров из физики: да, там есть содержательные примеры, в том числе те, которые вы назвали. Простейшие из них - это тензоры валентности 2: всякие тензоры напряжений, тензоры упругости, инерции, тензор диэлектрической проницаемости . Почти все эти тензоры — это билинейные формы, и, конечно, про них важно написать. Но перед этим, гораздо важнее, написать про то же билинейные формы, как они меняются при переходе к другому базису, написать про линейные операторы и бивекторы (все это — тензоры валентности 2), в общем, надо сделать то же самое, что и в примерах для валентности 0 и 1.

Физические примеры надо нормально оформить, чтобы было это были не просто рассуждения вокруг да около, а было видно их тензорную природу, и они оставались понятными тензорами. Еще встает вопрос, куда их поместить. Они довольно простые (но сложнее тензоров ранга 0 и 1), чтобы их поместить в начало статьи, как вы хотите — от простого, к сложному. С другой стороны, во второй части статьи есть раздел "тензоры в физике", и по-хорошему, им бы там жить. Возможно, стоит тот раздел пополнить, переименовать в "тензоры в механике и физике", т.к. тот же тензор напряжений и упругости - это механика, и там еще есть непонятный мелкий раздел "девиатор и шаровая часть" — это терминология, используемая только для тензоров напряжений в механике, наверное, надо про тензоры напряжений подробно написать и добавить это туда. Сейчас, мне это не так важно, тут идейно многого не написано, оформительство — это уже на потом.

Кроме того, сейчас вопрос с разделом определения, там сейчас каша, нет четких формулировок определений, не понятна их взаимосвязь, почему три разных определения задают одно и то же математическое понятие. Сейчас я хочу написать про тензоры ранга 2, в том же духе, что и про векторы и скаляры, чтобы прослеживался единый стиль и какая-то логическая цепочка. Потом надо добраться до определений, там нужна довольно серьезная работа, нужно как-то нормально и определение "для физиков" дать, и остальные два, через полилинейные отображения и тензорное произведение четко сформулировать, надо добавить доказательство, или хотя бы sketch of the proof равносильности этих двух определений. Наверное, посмотрю, как у Винберга написано, и что-нибудь придумаем, у него такие моменты обычно довольно четко обыгрываются. Неплохо было бы показать, как "определение для физиков" связано с обычными определениями, это будет важно, например, для студентов Физфака МГУ, и многих других физ. специальностей, там обычно дают такое, не очень строгое, определение, а потом они лезут в литературу для математиков и не могут связи найти. В общем, пока план действий такой, на сколько меня хватит — не знаю.

Кубит, кстати, такое ощущение, что ты хочешь сделать статью, в которой людям, несвязанным с математикой и физикой объяснишь, что такое тензор — думаю, это или невозможно, или, если возможно, у них создастся неполное, искаженное понимание. Ну нереально тут, не владея какими-то основными понятиями из линала (которые в примере вектора и ковектора по сути изложены) что-то понять. Все, что мы можем — постараться нормально эти понятия изложить, а не просто их использовать, кому пригодятся тензоры — тот это прочитает и разберется. Примеры, конечно, полезны, но они могут только помочь понять ту обстакщину, которой определяется тензор, понять ее по любому придется. Fraik rus (обс.) 14:13, 23 апреля 2020 (UTC)

Я не хочу сделать целую статью "простой" и без математики. Я хочу чтобы в начале статьи было проще и коротко (на интуицию и с оговоркой, что это не точные слова, а для точности читай ниже), а потом уже жёстко и сухо, но с отсылками в начало. Coobit (обс.) 16:07, 23 апреля 2020 (UTC)

Кубит, по поводу исправления в начале примера вектора, я согласен, там неплохо еще раз отметить, что вектор не зависит от выбора базиса, но в остальном — там ошибки теперь, выше я напсисал в чем, можно я назад верну, про независимость вектора от выбора базиса — добавлю? Fraik rus (обс.) 14:42, 23 апреля 2020 (UTC)

Конечно, добавляйте! Coobit (обс.) 16:07, 23 апреля 2020 (UTC)

Просто, так даже сама идея теряется — вектор у нас $v={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$, картинка — это просто иллюстрация (и она не на всех устройствах подгружается), в том виде как сейчас — нигде не написано, как вектор задается. Fraik rus (обс.) 14:46, 23 апреля 2020 (UTC)

Написал про тензоры ранга 2, к тексту про тензор напряжений есть вопросы (в статье он описан как линейный оператор, который вектору нормали разреза ставит в соответствие вектор "распространения разреза", что, вообще говоря, не верно, так как тензор напряжений — это билинейная форма, которая двум векторам ставит в соответствие число). Но в статье есть более серьезные пробелы (например — определения тензора...), писать про тензор напряжений сейчас времени нет. Fraik rus (обс.) 20:19, 8 августа 2020 (UTC)

Определение и прочее

Прошу прощения, а это откуда такое определение тензора как объекта, "преобразующего элементы одного линейного пространства в элементы другого"? И как вектор (тензор валентности (1,0)) преобразовывает элементы одного пространства в другое? Нет я понимаю, когда речь идет о билинейной или вообще полилинейной форме теоретически это получается верно, ибо R -тоже линейное пространство. Но, как бы это помягче сказать, суть тензора вообще никак не проясняется такой фразой. Потому как это подходит больше под понятие линейного отображения, но не тензора.

Ну и вообще, автор конечно попытался максимально доступно изложить материал, но, во-первых, это должно быть правильно (хотя бы в некотором нестрогом приближении), во-вторых, ну мне кажется с "доступностью" перебор явный.

Чтобы понять тензоры все-таки нужно немного быть в курсе хотя бы понятий векторное пространство, базис, и прочее. Невозможно все разжевать в одной статье. Люди целые учебные пособия пишут, минимум главы посвящают всему этому. Тензор - сложно определяемое и визуализируемое понятие, в отличие, например, от вектора. Даже "ковектор" сложно себе представить на самом деле. Статья должна быть доступной для понимания, но мне кажется переборщили с этим. Ну на счет преобразования длины ручки в дюймах и в сантиметрах, я может чего не понимаю, но это никак не может быть примером скаляра - скаляр как раз вообще не меняется от преобразования базиса. Да и аналогия вообще в виде амбиграммы, несмотря на кажущуюся полезность для понимания, на самом деле неверная аналогия, так как здесь речь идет о проекциях объекта, поэтому разные проекции это еще не тензор.

Блин, ну как раз в этом и суть объяснения! Проекции -- это лишь матрицы(не тензоры), а сам объект амбиграммы -- это и есть тензор! Неужели я настолько плохо написал разъяснение! Я бы хотел чтобы вы вернули пример с амбиграммой и разъяснили его, если моё разъяснение было плохим. Coobit (обс.) 10:38, 8 декабря 2020 (UTC)

Проекции -это не тензор, проекции это как раз координаты. Амбиграмму определяет совокупность проекций, также как вектор (тензор)- совокупность координат, но это не раскрывает суть тензора. С тем же успехом можно нарисовать вертикальную палку, которая в нижней проекции будет кружочком, а в двух других проекциях - тонким длинным прямоугольником (если палка идеально ровная конечно). Ну если я не прав - можете привести источник, где амбиграмму считают иллюстрацией тензора. Ну или пусть другие выскажутся. MyWikiNik (обс.) 17:48, 11 декабря 2020 (UTC)

Понимаете, суть примера с амбиграммой была преподнесена так, что мол видите в каждой проекции амбиграмма выглядит совершенно по разному, но это по прежнему тот же объект - это попытка показать на таком геометрическом примере, что разные матрицы представляют один объект. Но проблема в том, что аналогия матрица тензора - проекция амбиграммы - некорректное сравнение, потому что никакую ОДНУ проекцию нельзя считать полным описанием объекта, вот матрица - это полное описание тензора второго ранга, просто в некотором базисе. Аналогия базис-проекция я считаю неверна, именно из-за неполноты соответствия между проекцией и объектом. Амбиграмму определяет одновременно все три проекции. А вот если расположение проективных плоскостей поменять - например поворотом на какой-то угол, вот новая совокупность проекций отличается от старой совокупности проекций - вот это объясняет тензор. Но для этого амбиграмма не нужна, достаточно любой фигурки. MyWikiNik (обс.) 18:05, 11 декабря 2020 (UTC)

Я именно об этом и говорю. Что проекции -- это координаты, а амбиграмма -- это как бы сам инвариантyый геометрический объект -- тензор. Не понимаю о чём спор, если вы согласны со всем, что я сказал? Или у вас претензии именно к тому, что геометрический объект-амбиграмма не является тензором? Ну, дык, это аналогия, чтобы до людей донести. Зачем же рубить под корень всё, когда можно просто написать "это лишь аналогия, они никогда не бывают точны на 100%"? 94.25.168.139 18:03, 11 декабря 2020 (UTC)

Прочитайте я добавил абзац пока вы отвечали. Еще раз проекция амбиграммы - это не аналог координат, а аналог координатЫ, одной координаты, не всех. Вот три проекции вместе - это координатное представление вашей амбиграммы. Все вместе! Тот факт, что проекции отличаются,хотя объек один - не поясняет понятие тензора. MyWikiNik (обс.) 18:10, 11 декабря 2020 (UTC)

И, вообще, понимание того, представление объекта в базисе и сам объект - это не одно и то же, и это представление может меняться от базиса к базису, должно быть на стадии изучения понятия векторного (линейного) пространства, понятия вектора, задолго до изучения понятия тензор.

Полагаю статью надо переделать. Какие будут мнения? MyWikiNik (обс.) 13:33, 29 ноября 2020 (UTC)

Переделал как смог вводную часть и определения тензоров. Думаю над большим разделом с "пояснениями". Там я уже сделал заготовку таблицы с примерами различных тензоров. Полагаю, что все детальные примеры есть смысл уже убирать - но надо посмотреть нет ли там чего полезного. Но детально про тензор напряжений - думаю не стоит точно. Прошу высказать мнения хотя бы по разделам, которые уже более или менее считаю сделанными (введение и определения). Правда в определениях нужно дополнить пояснения по поводу того, что же такое тензорное произведение MyWikiNik (обс.) 14:46, 30 ноября 2020 (UTC)

А нельзя ли сделать так, чтобы в статье повествование было от простого к сложному? Тогда бы и примеры с амбиграммой и др. "простыми" вещами можно было бы оставить. Если там какие-то неверности, то зачем же всё под нож! Можно же разъяснить и поправить немного текст. Coobit (обс.) 10:41, 8 декабря 2020 (UTC)

Я именно от простого к сложному и пытался максимально как это возможно. В преамбуле я максимально подробно, но почти без формул, изложил суть того, что есть тензор, его ранг, его координаты и почему они меняются при смене базиса. Потом в разделе предварительнлые сведения на примере векторов и ковекторов показал, что значит контравариантность и ковариантность и даже оставил примеры пересчета координат. И только после этого дал общее коорднатное определение и сразу после этого, тоже привел примеры преобразований координат. Потом дал второе определение и подробно пояснил как по этому определению получаются различные тензоры разных рангов. Наконец,так называемое современное определение в виде тензорного произведения я почти не менял, добавил лишь опять пояснения по поводу понятия тензорного произведения. Что в этой последовательности не так?MyWikiNik (обс.) 17:48, 11 декабря 2020 (UTC)

Вы сделали "просто" с вашей точки зрения, но множество людей не может тратить полжизни для изучения лин.алгебры, чтобы потом по "простым" выкладкам уяснить суть этого явления. Я же предлагал начать с "ещё более простого": как бы "на пальцах объяснять", на ощупь, на физ. примерах, чтобы было понятно что он не координаты/матрицы, а он -- геометрия/физика. 94.25.168.139 18:09, 11 декабря 2020 (UTC)

Ну приведите пример объяснения "на пальцах" "на ощупь, на физ. примерах. Очень хочу понять. Значит на пальцах есть только одно объяснение почему тензор - это не просто набор чисел. Оно точно такое же как и объяснение почему вектор - не набор чисел. Этого достаточно, ибо тензор это тоже вектор в некотором векторном пространстве. Это я и пытался пояснить уже в преамбуле. Но если вы этого не знаете и не понимаете и вообще не слышали о понятии векторного пространства, то во-первых, точно ли вам надо знать, что такое тензор? Может сначала узнать, что такое вектор и линейное (векторное) пространство? Во-вторых, я и это объяснил подробнее по части векторов, как на формулах, так и на числовых примерах. Нет можно накидать еще примеров "физичеких". Например, пересчет энергии-импульса тела при переходе от одной инерциальной системы отсчета в другую.MyWikiNik (обс.) 18:22, 11 декабря 2020 (UTC)

Ну приведите пример объяснения "на пальцах" объяснение почему тензор - это не просто набор чисел. Оно точно такое же как и объяснение почему вектор - не набор чисел.

Ну вы собственно почти его сами и привели. Если часто приводят пример "стрелки" как геометрического объекта, где тени, которые стрелка отбрасывает на оси, собираются в вектора-координат, принимается вами. Так? То почему амбиграмма в том же контексте вам не понравилась? Стрелка( или абиграмма) и её тени коордианты, которые потом собирают координатные-вектора (координатные-марицы)...Coobit (обс.) 19:29, 12 декабря 2020 (UTC)

Поясняю еще раз - в вашей версии почему амбиграмма позволяет понять, что такое тензор сказано было, что мол проекции вот разные, тем не менее объект тот же. Так ведь? А я вам объясняю, что с вектором это не так. Мы же не говорим вот стрелка, а видите у него проекции на три разные оси - разные числа. И поэтому это тензор. Нет не так. Три координаты стрелки определяют стрелку, а не их различие определяет стрелку и тем более ее тензорные свойства. Еще раз на месте вашей амбиграммы в вашем объяснении может быть абсолютно любой предмет. Брусок, например, с различной величиной длины, ширины и высоты. Поставьте его вертикально и три проекции. И они будут разные. И что это тензор из-за этого? Нет. То есть в вашем объяснении, во-первых, неверно объяснено почему это тензор, во-вторых, для такого объяснения амбиграмма вообще не нужна. Возьмите любой объект, палку, брусок, пирамидку и прочее. MyWikiNik (обс.) 16:25, 13 декабря 2020 (UTC)

Поясняю еще раз - в вашей версии почему амбиграмма позволяет понять, что такое тензор сказано было, что мол проекции вот разные, тем не менее объект тот же. Так ведь? А я вам объясняю, что с вектором это не так. Мы же не говорим вот стрелка, а видите у него проекции на три разные оси - разные числа.

Пояснение ваше понял. Да, согласен с вами. Я именно так и хотел объяснить, но видимо не увидел, что моё объяснение может привести к такому неверному выводу. Вы бы могли и просто поправить, а не полностью удалять всю работу.

во-вторых, для такого объяснения амбиграмма вообще не нужна.

Ну, конечно, можно и любую другую фигуру нарисовать вместо амбиграммы, просто "простая палка" неприглядно бы выглядела. :) Амбиграмма же тут просто ярче показывала сложность объекта (тензора) и его многоликость. Палка особо многоликостью не блещет. Ну, я человека маленький, вы более заслуженный деятель Вики, вам решать. Статья сухая очень получается, вам может и всё очень ясно, но люди разные бывают, кто-то технарь, кто-то более визуал и т.д. Даже среди технарей есть более визуально ориентированные люди, чем текстово ориентированные. Coobit (обс.) 18:15, 13 декабря 2020 (UTC)

Я, так же, как и многие, не математик и не физик, и ни в школе, ни в университете не изучал даже близко понятие тензора. Но хотел понять. И несколько лет назад и понятия не имел, что это такое. Притом, что я прекрасно понимал, что такое векторные пространства, скалярное произведение и прочее. Но из википедии и математических источников понять было сложно в силу того, что нужно было быть уже "в материале", чтобы понять о чем речь. Речь об определении, что тензор - это элемент тензорного произведения векторных пространств. Смотришь понятие тензорного произведения - еще менее понятно. А упрощенное изложение в физических пособиях типа вот буква, вот индексы, вот правила пересчета - тоже не были понятны. Поэтому я тоже против сухого математического подхода к статьям в википедии. Но я также против превращения ее в детский сад. Почему в детском саду не объясняют что такое тензор? Да потому что вам надо до хрена чего узнать сначала, чтобы понять что же это такое. А мы хотим, чтобы в одной статье для человека абсолютно не в теме объяснить, что такое тензор. Это просто невозможно. Нужно выбрать золотую середину между строгостью и простотой и понятностью и степенью полноты. Например, я, естественно, не стал здесь объяснять понятие векторное (линейное) пространство, векторы и базисы пространства, координаты вектора и прочие азы. Если это все объяснять в этой статье, то надо еще пояснять, что значит линейность вообще, что такое поле (ибо поле может быть не только действительных чисел, но и комплексных чисел, но и вообще есть абстрактное понятие поля, а там и алгебра, кольцо, группа и прочее), ну то есть так можно до всей линейной алгебры докатиться, а тут и теория множеств (а ведь в определениях используется написание отображений со стрелкой - это тоже далеко не все в курсе что значит, не все знают, что такое декартово произведение множеств и прочее). Все в одной статье объяснить невозможно. Я полагаю, что при изложении сложных статей нужно исходить все-таки из некоторого уровня подготовки человека. Если человек не в теме вообще, например, он просто художник или музыкант, но вдруг захотел узнать, что такое тензор, то ему точно надо начинать не со статьи про тензор, а со статей про линейные пространства, векторы и прочее. Сухое математическое определение тоже неприемлемо, несмотря на гиперссылки, где можно прочитать про используемые термины, ибо там тоже если написать сухим языком, то так до бесконечности можно изучать. Должен быть компромисс между строгими понятиями и пояснениями содержания. Я не говорю, что статья идеальна. Но в целом она точно стала лучше и понятнее. Зачем был полностью скопирован текст с рисунками из статьи про тензор напряжений? Я его целиком и убрал. Ибо есть целая отдельная статья про него.

А откровенно неверные объяснения типа вот длина в сантиметрах, а вот в дюймах , вот тебе и тензор. Это к вопросу объяснения на "пальцах". Это приемлемо, если это хотя бы примерно верно. А этот пример неверен в корне. Ибо скаляр от базиса не зависит! А здесь в примере - зависит. И вот внимательный читатель читает и не понимает - вроде как хорошо объяснено, но ведь длина - скаляр, почему же от базиса зависит? А все дело в том, пример вообще не про то и сильно уводит в сторону. Проблема размерности не имеет на самом деле отношения к теме. Поле действительных чисел - это если хотите безразмерное поле коэффициентов, которые отражают лишь отношение между коллинеарными векторами (операция умножения на число). Длина вектора - это некоторое фиксированное число. Его измерение в разных единицах измерения означает лишь его деление на другое число. То есть если длина была определена 2,4 и это подразумевались см, то теперь длина 1 дюйм лишь выражает отношение 2,4 к 2,4. Это само по себе с замене базиса не имеет онтношения MyWikiNik (обс.) 20:12, 13 декабря 2020 (UTC)

Преамбула

Если придерживаться общепризнанного методологического принципа «от простого к сложному», то к преамбуле много претензий. Лучшее в ней — заключительная фраза первого абзаца: «Использование тензоров в физике позволяет <...> записывать уравнения в так называемой общековариантной форме, когда форма записи закона не зависит от выбранной системы отчета» (наверно, всё-таки отсчёта). Вот эту мысль, на мой взгляд, и следовало бы развить, а непонятные новичку формальные детали о ранге, валентности и т. п. перенести в отдельный раздел. Потому что тензор — это в первую очередь инструмент для получения инвариантов, скаляров (с помощью обобщения скалярного умножения). Такой подход гораздо ближе студентам младших курсов (на которых и должна быть рассчитана данная статья), чем рассуждения о векторных пространствах .

Конкретно, я предлагаю в качестве образца подход из книги Нордена «Теория поверхностей». Он сначала показывает, что всякой линейной функции одного векторного аргумента можно сопоставить некоторый постоянный вектор так, что значение функции будет равно скалярному произведению этого вектора на значение векторного аргумента, Далее рассматривается общая скалярная полилинейная функция и даётся определение ковариантного тензора:

По аналогии с тем, как функции одного аргумента соответствует некоторый вектор, считается, что всякой линейной функции многих векторных аргументов соответствует величина особого рода, которая называется тензором.

При этом понятия валентности и ковариантности возникают естественным путём. Далее формулируется общее понятие тензора, метрического тензора (через скалярное произведение) и контравариантных индексов.

Достоинство подхода Нордена (он встречается и в других АИ) в том, что он сразу даёт понять читателю, в чём польза от тензоров — они позволяют формулировать общековариантные законы природы, не зависящие от выбора системы координат. Почему бы не взять его за основу? Leonid G. Bunich / обс. 15:35, 13 декабря 2020 (UTC)

Про систему отсчета подправил. А на счет скалярного произведения и прочего - нет. Во-первых, потому что тензоры могут задаваться и на пространстве без скалярного произведения. Это очень важно. Несмотря на то, что на практике обычно все со скалярным. Поэтому понятие тензора имеет место и без скалярного произведения и должно быть определение, не зависящее от понятия скалярного произведения. Во-вторых, что касается полилинейных функций - то это один из подходов к определению понятия тензора. Я привожу все три основных подхода к определению. И, как вы и предлагаете, сначала про векторы и ковекторы, про суть контравариантности и ковариантности, потом наиболее "простое" определение про компонентное представление и преобразование базиса, потом через полилинейные функции и наконец через тензорное произведение. А вообще, несмотря на некоторые преимущества определения тензора как полилинейной функции, тем не менее многие понятия из него неочевидным образом следуют. И эти вещи я объяснил в статье - про то как из этого определения следует, что вектор - это тензор, что линейный оператор - это тензор и прочее. Это все неочевидные вещи, требующие пояснений. Что касается преамбулы - то это очень сложный вопрос. В преамбуле сложно писать что-либо без предварительного хоть какого-нибудь определения. А любое из определений требует кучу предварительных объяснений. Вот как понять почему вообще координаты тензора как-то пересчитываются? Как вообще понять, что такое координаты тензора? Если понимать не надо, то это первое определение - тогда надо просто сказать, что тензор это просто набор компонент, которые при смене базиса определенным образом пересчитываются. Почему да как - неважно. Я попытался уже в преамбуле объяснить базовые понятия, что тензоры имеют ранг, классифицируются также по ковариантной и контравариантной валентности. А дальше поясняю, что они по смыслу значат - если не понимать, что это векторы в пространстве большей размерности, связанной с базовым векторным пространством - то вообще не понятно, откуда берутся координаты тензора? Что это? А это оказывается просто координаты вектора, просто в другом пространстве. И вот сказав, что тензор - это вектор некоторого пространства размерности n^(s+r), я привожу примеры, что ранг 0, дает просто поле скаляров, ранг 1 - само векторное пространство размерности n, а векторы сопряженного пространства - это той же размерности и т.д. То есть я показываю, как возникают пространства тензоров различных рангов - примеры. А дальше поясняю откуда возникают координаты тензора - а это оказывается просто координаты вектора в том самом пространстве всего лишь. А почему же они тензоры называются - потому что базис этого пространства привязан к базису основного пространства и поэтому пересчет координат происходит при смене базиса в базовом пространстве. Пространства полилинейных функций, пространство многокомпонентных объектов, пересчитывающихся по определенному закону, тензорные произведения векторов и ковекторов, линейные операторы - все это разные объекты, но между ними можно поставить взаимно-однозначное соответствие в смысле сохранения общих свойств этих объектов как тензоров. Вот для меня числовой линейный функционал на пространстве числовых линейных функционалов это не то же самое, что вектор основного пространства. И тем не менее эти объекты и соответствующие пространства изоморфны в необходимом смысле и поэтому они отождествляются. В общем вопрос сложный. Преамбулу даже если менять, то все что там написано должно быть предварительно объяснено. Объяснение, что тензор это полилинейная функция - пусть оно и не плохое, ничем не проще. И поэтому оно идет у меня вторым в списке, после "простого" прикладного определения. MyWikiNik (обс.) 16:19, 13 декабря 2020 (UTC)

Напишите так, чтобы я понял

Я услышал слово Тензор, зашел в википедию и ничего не понял. Это учебник по физике или популярная энциклопедия? Объясните по-нормальному или удалите эту бесполезную статью.

• Ха, так и было сделано до последней правки, что вернула страницу в "учебник по физике". Поищите в истории правки там осталась более-менее популярная версия тензора с простыми объяснениями. -- Coobit 17:06, 11 марта 2021‎(UTC)
• Да, к сожалению, после правок конца 2020 - начала 2021 года статья стала абсолютно нечитабельной, даже мне, при том, что я не совсем чужд математике и физики и активно интересуюсь ими. Я рассматриваю вариант вернуть версию статьи до правок MyWikiNik. MBH 17:17, 11 марта 2021 (UTC)
• Как минимум, преамбулу надо существенно упростить. Я возвращаюсь к своему предложению (см. #Преамбула) опираться на определение тензора из книги Нордена «Теория поверхностей», оно, мне кажется, наиболее подходит для первоначального знакомства. Leonid G. Bunich / обс. 17:56, 11 марта 2021 (UTC)
• С таким же успехом можно попросить «объясните теорию Галуа/категорий/струн/Морса/<почти любая теория>, что бы я понял». В математике и физике есть определения и понятия, которые вводятся с помощью других более базовых определений. Ну невозможно на пальцах нормально объяснить что такое тензор, что бы это было сколько-нибудь содержательно, если не оперировать понятиями векторных пространств, сопряженных пространств, полилинейных функций, базисов и тд. Всевозможные аналогии - это не объяснения, они создают лишь видимость понимания (хотя иногда полезны). А тут энциклопедия, в ней должно быть более-менее полное, четкое определение, которое, кстати, может помочь людям, которые серьезно изучают тему (первокурсники физмат направлений), а не просто услышали слово «тензор» и решили быстро загуглить, что это. Поэтому все описание должно быть четким, на нормальном алгебраическом языке, но в то же время полным (с равносильными определениями, например, через набор координат + закон их преобразования - это доя физиков), но основа должна быть всё-таки алгебраической, тензоры - объекты из линейной алгебры, про примеры, конечно, тоже забывать не стоит. И примерно к этому движется MyWikiNik, статья стала гораздо-гораздо лучше за последнее время, до этого тут был какой-то адок. Fraik rus (обс.) 22:25, 12 августа 2021 (UTC)
• Стала лучше? Я читаю электродинамику в техническом ВУЗе и у меня мозг кровью обливается от такого "лучше". Тензор - это одно из сложнейших общедоступных понятий линейной алгебры. Почему статья начинается так, как будто это учебник квантовой физики? Статья энциклопедии нужна в первую очередь для того, что бы ничего не сведущий человек смог прочитать информацию и понять общий смысл явления. Сейчас он прочитав статью поймёт, что Википедии качество статей ниже плинтуса. Нужно ли расширенное глубокое описание для специалиста в этой области? Безусловно! Но не с первых строк. Первый абзац должен быть таким, что бы его мог понять студент первого курса технического ВУЗа, а то и школьник старших классов. Берём начинающего программиста по обработке данных, Который только пытается понять - что же такое TensorFlow, начинает читать про тензоры в Википедии и вместо того, что бы получить нужный базис, он приходит к осознанию своей ущербности. Зачем такое делать? Infarh (обс.) 19:42, 24 мая 2022 (UTC)