Окружность Аполлония

(перенаправлено с «Окружности Аполлония»)

Окружность Аполло́ния — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.

не зависит от .
Окружности Аполлония. Каждая голубая окружность пересекает каждую красную под прямым углом. Каждая красная окружность проходит через две точки (C и D), и каждая голубая окружность окружает только одну из этих точек

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

Определение

править

Пусть на плоскости даны две точки   и  . Рассмотрим все точки   этой плоскости, для каждой из которых отношение

 

есть фиксированное положительное число. При   эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку  ; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

Замечания

править
  • Точки   и   называются фокусами окружности Аполлония.

Свойства

править
  • Радиус окружности Аполлония равен  
  • Отрезок   между точкой на окружности и точкой пересечения окружности с прямой   является биссектрисой самого угла   или угла, смежного с ним.
  • Инверсия относительно окружности Аполлония меняет точки   и   местами.
  • Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки.

О доказательствах

править
  • Одно из доказательств основано на свойстве внутренней и внешней биссектрисы треугольника, а именно то что биссектриса делит противоположную сторону в отношении пропорциональном прилежащим к ней сторонам.[1]
  • Существует доказательство, основанное на свойстве инверсии.[2]
  • Также существует довольно простое доказательство прямым подсчётом в координатах.

Приложения

править

См. также

править
  • Похоже определяемые кривые
    • Гипербола — кривая постоянной разности расстояний между фокусами;
    • Эллипс — кривая постоянной суммы расстояний между фокусами;
    • овал Кассини — кривая постоянного произведения расстояний между фокусами.

Примечания

править