Окружность Фурмана

Окру́жность Фу́рмана — окружность для данного треугольника с диаметром, равным отрезку прямой, который расположен между ортоцентром $H$ и точкой Нагеля $N.$

$N$ — точка Нагеля треугольника, $H$ — его ортоцентр.

Названа по имени немецкого математика Вильгельма Фурмана (1833—1904).

Радиус окружности Фурмана $R_{F}$ выражается через радиусы описанной $R$ и вписанной $r$ окружностей треугольника по теореме Эйлера:

$R_{F}={\sqrt {R(R-2r)}}.$

Выражение для $R_{F}$ через стороны треугольника $a,$ $b$ и $c:$

$R_{F}=R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-bc^{2}-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}.$

$R_{F}={\sqrt {{\frac {abc\,}{a+b+c}}\left[{\frac {abc\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}}$

Этому радиусу также равно расстояние между центром описанной окружности и инцентром.

См. также

• Окружность Брокара также строится на отрезке в треугольнике как на диаметре.

Литература

• Johnson, Roger A.: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 228–229, 300 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
• Honsberger, Ross: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 49-52
• Scott J. A.: An Eight-Point Circle. In: The Mathematical Gazette, Band 86, Nr. 506 (Jul., 2002), S. 326–328 (JSTOR Архивная копия от 15 ноября 2019 на Wayback Machine)
• Fuhrmann circle Архивная копия от 25 апреля 2005 на Wayback Machine